ensayos

Unidad 3 Aplicaciones de la integral
1. Cálculo de áreas planas

La integral definida es una generalización del proceso del cálculo de áreas.
Ahora bien, el área de un recinto es siemprepositiva, mientras que la integral puede ser positiva, negativa o
nula. Por tanto, en la aplicación de la integral al cálculo de áreas, debe tenerse en cuenta el signo de cada uno
de los recintoslimitados por el eje OX , y tomar el valor absoluto de los mismos. Su suma es el área.

2. Cálculo de volúmenes

Si una región de un plano se gira alrededor de un eje E de ese mismo plano, se obtieneuna región
tridimensional llamada sólido de revolución generado por la región plana alrededor de lo que se conoce
como eje de revolución.

Son ejemplos de sólidos de revolución: ejes, embudos,pilares, botellas y émbolos.
Existen distintas fórmulas para el volumen de revolución, según se tome un eje de giro paralelo al eje OX o
al eje OY . Incluso a veces, es posible hallar elvolumen de cuerpos que no son de revolución.

2.1. Volúmenes de revolución: El Método de los discos
Si giramos una región del plano alrededor de un eje obtenemos un sólido de revolución. El más simplede
ellos es el cilindro circular recto o disco, que se forma al girar un rectángulo alrededor de un eje adyacente a
uno de los lados del rectángulo. El volumen de este disco de radio R y deanchura ω es:
Volumen del disco = π ω R2

Para ver cómo usar el volumen del disco para calcular el volumen de un sólido de revolución general,
consideremos una función continua f x( ) definida enel intervalo [ ] a b , , cuya gráfica determina con las
rectas x a = , x b = , y = 0 , el recinto R. Si giramos este recinto alrededor del eje OX , obtenemos un sólido
de revolución.

Setrata de hallar el volumen de este cuerpo engendrado por R. Para ello hay que seguir un proceso similar al
realizado en la definición de integral definida.

2.2. Volúmenes de revolución: El...