Ensayos

Resolución numérica completa de la Ecuación de la Clotoide
Javier Jiménez Shaw

Date: 2003-12...2009-02

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Contents
List of Figures
Introducción
Definición del problemaEcuaciones de Fresnel
Desarrollo de Taylor
Desarrollo en serie de potencias negativas
Conclusión

List of Figures
1. Clotoide
2.
3.



Introducción
La clotoide, o espiral de Cornú, es lacurva que cumple la condición

(1)


donde  es la longitud del arco,  el radio de curvatura, y  el parámetro de la clotoide.
También se puede expresar como

(2)


donde  es la curvatura,inversa del radio de curvatura.


Figure 1: Clotoide
Definición del problema
Para resolver la ecuación nos basamos en la definición de longitud de arco y de radio de curvatura (no son particularespara el caso de la clotoide) 



(3)



(4)



(5)


Estas ecuaciones no están en coordenadas polares, sino que  es el radio de curvatura, y  el angulo en radianes que forma la tangente enese punto con el eje x.
Aplicando (1) en (3), y operando un poco tenemos:

(6)


Para simplificar la notación, el origen de integracion, , será 0.
Ahora, aplicando estos resultados en (4) y(5),

(7)



(8)



Ecuaciones de Fresnel
Hacemos un cambio de variable para llegar a las famosas ecuaciones de Fresnel. 



(9)



(10)



(11)



(12)



(13)

Vemosque la razón de la homotecia que vamos a aplicar a las ecuaciones de Fresnel es , tanto en el valor de longitud de arco en la entrada como en los resultados  e  en la salida.
Las ecuaciones de Fresnelque resolvemos son:




(14)



(15)



Figure: 


Figure: 
Para resolverlas numéricamente las descompondremos en series de potencias. Para lograr la convergencia en pocos términos,dividimos, para valores pequeños de , en una serie de potencias positivas (la serie de Taylor) y para valores grandes de  usaremos una serie de potencias negativas. El límite entre grande y pequeño...