ensayos

COMPOSICIÓN DE FUNCIONES
La composición es una operación entre funciones que se establece de la
Siguiente manera:
Dadas dos funciones f y g , se define como la composición de la función
f con la función g , a la función denotada f Dg ( léase f composición g ), cuya regla de correspondencia es
( ) f Dg x f gx ( ) () = [ ]
Donde su dominio está representado por el conjunto
D xx D g x D fg fD =∈ ∈ { g ; () }
Para obtener la regla de correspondencia de la función f Dg , según la definición anterior, basta con sustituir la función g en la variable independiente de la función f .
Así por ejemplo, sean las funciones 2 fx x ()4 1 = − y g ( ) x x = , entonces, la regla de la función f Dg se obtiene mediante la siguiente sustitución
( ) f Dg x f gx ( ) () = [ ] , por lo que
( ) f gx fx ( ) =     D , entonces
( ) fg x x D ()4 1






Para entender mejor cómo se obtiene el dominio y el recorrido de la composición, recurramos a la notación funcional, pues la definición se expresa en estos términos.
Notación Funcional.- Es una simbología que sirve para representar sucintamente una función, se expresa de la siguiente manera
y wx = ( )
Donde:
w Representa la regla decorrespondencia de la función.
x Indica el dominio de la función w, o bien, a la variable independiente.
w x( ) Representa al recorrido de la función w, indica los valores de la variable dependiente.
Entonces, en estos términos, el significado de
f [ g x( ) ]
Es que el dominio de la función resultante, es un subconjunto, propio o impropio, del dominio de la función g , y que su recorrido esun subconjunto propio o impropio de la función f .
De lo anterior, es importante tener presente que la condición para que se pueda efectuar esta operación es el cumplimiento de
g f R D ∩ ≠ ∅
A partir de la condición anterior, indicar si es posible o no obtener la composición entre las funciones que se indican:
Si:
2
g ( ) x x = −
fx x () 1 = −
2
1 ( ) 1
h x
x = − +
2 ix x ( ) 1 ( 2) =−−
2
1 j x ( )
x =
kx x ( ) = −
Entonces:
a) f D g; no es posible
b) g D f; sí es posible
c) i hD; no es posible
d) h iD; sí es posible
e) j kD; sí es posible
f) k j D; no es posible
g) k gD; sí es posible
h) g D k; sí es posible
i) f D j; sí es posible
j) i gD; no es posible 6


Para visualizar mejor cómo se obtiene el dominio y el recorrido de la función composición f D g,recurramos a su representación en un diagrama de Venn. Podemos ver que el D f D g (dominio de f D g) lo formarán aquellos elementos del Dg para los cuales, al sustituirlos en la función g , el resultado pertenece al conjunto g f R D ∩ .
Para obtener el f g
R D (recorrido de f D g ), analizamos los valores que obtenemos de la función f , cuando la valuamos en todos los elementos del conjunto g f R D ∩.
















Teoría de conjuntos


Hipótesis del continuo. La colección de todos los conjuntos de números naturales P(N) tiene la llamada potencia del continuo: tantos elementos como (por ejemplo) puntos en unarecta. Su estudio es uno de los principales problemas en la teoría de conjuntos.
La teoría de conjuntos es una rama de las matemáticas que estudia las propiedadesde los conjuntos: colecciones abstractas de objetos, consideradas como objetos en sí mismas. Los conjuntos y sus operaciones más elementales son una herramienta básica en la formulación de cualquier teoría matemática.1
Sin embargo, la teoría de los conjuntos es lo suficientemente rica como para construir el resto de objetos y estructuras de interés en matemáticas: números, funciones, figurasgeométricas, ...; y junto con la lógica permite estudiar los fundamentos de esta. En la actualidad se acepta que el conjunto de axiomas de la teoría de Zermelo-Fraenkel es suficiente para desarrollar toda la matemática.
Además, la propia teoría de conjuntos es objeto de estudio per se, no sólo como herramienta auxiliar, en particular las propiedades y relaciones de los conjuntos infinitos. En...