Ensayos

Diferencia finita
A diferencia finita es una expresión matemática de la forma f(x + b) − f(x + a). Si una diferencia finita se divide cerca b − a, uno consigue a cociente de la diferencia. La aproximación de derivados por diferencias finitas desempeña un papel central adentro métodos finitos de la diferencia para numérico solución de ecuaciones diferenciales, especialmente problemas de valor delímite.
En análisis matemático, operadores implicando diferencias finitas se estudian. A operador de la diferencia es un operador que traz una función f a una función que valores son las diferencias finitas correspondientes.
|
Remita, posteriores, y centrales las diferencias
Solamente tres formas se consideran comúnmente: remita, posteriores, y centrales las diferencias.
A diferenciadelantera es una expresión de la forma
Dependiendo del uso, el espaciamiento h puede ser la constante variable o llevada a cabo.
A diferencia posterior utiliza los valores de la función en x y x − h, en vez de los valores en x + h y x:
Finalmente, diferencia central se da cerca
Relación con los derivados
derivado de una función f en un punto x es definido por límite
Si h tiene un valor (diferentea cero) fijo, en vez de acercar a cero, entonces el lado derecho está
Por lo tanto, la diferencia delantera dividida cerca h aproxima el derivado cuando h es pequeño. El error en esta aproximación se puede derivar de Teorema de Taylor. Si se asume eso f es continuamente diferenciable, el error es
El mismo fórmula sostiene para la diferencia posterior:
Sin embargo, la diferencia central rindeuna aproximación más exacta. Su error es proporcional al cuadrado del espaciamiento (si f es dos veces continuamente diferenciable):
Diferencias Higher-order
De una manera análoga una puede obtener aproximaciones finitas de la diferencia a los derivados de una orden más alta y a los operadores diferenciados. Por ejemplo, usando el fórmula central antedicho de la diferencia para f'(x + h / 2) yf'(x − h / 2) y aplicando un fórmula central de la diferencia para el derivado de f' en x, obtenemos la aproximación central de la diferencia del segundo derivado de f:
Más generalmente, nth- la orden las adelante, posteriores, y centrales diferencias se da respectivamente cerca:
Observe que la voluntad central de la diferencia, para impar n, tenga h multiplicado por no-números enteros. Si esto esun problema (está generalmente), puede ser remediada tomando el promedio de δn[f](x − h / 2) y δn[f](x + h / 2).
La relación de estas diferencias higher-order con los derivados respectivos es muy directa:
Las diferencias Higher-order se pueden también utilizar para construir aproximaciones mejores. Según lo mencionado arriba, la diferencia de primer orden aproxima el derivado de primer ordenhasta un término de la orden h. Sin embargo, la combinación
aproxima f(x) hasta un término de la orden h2. Esto puede ser probada ampliando la expresión antedicha adentro Serie de Taylor, o usando el cálculo de diferencias finitas, explicado abajo.
En caso de necesidad, la diferencia finita se puede centrar sobre cualquier punto por diferencias delanteras, posteriores, y centrales el mezclarse.Características
* Para todo positivo k y n
* Regla de Leibniz:

Métodos finitos de la diferencia
Artículo principal: método finito de la diferencia
Un uso importante de diferencias finitas está adentro análisis numérico, especialmente adentro ecuaciones diferenciales ordinarias numéricas y ecuaciones diferenciales parciales numéricas, de que tenga como objetivo la solución numéricaordinario y ecuaciones diferenciales parciales respectivamente. La idea es substituir los derivados que aparecen en la ecuación diferencial por las diferencias finitas que las aproximan. Se llaman los métodos que resultan métodos finitos de la diferencia.
Los usos comunes del método finito de la diferencia están en disciplinas de cómputo de la ciencia y de la ingeniería, tales como ingeniería...