Ensayos

| | | El único fracaso consiste en no seguir probando. | |

| | |
|   | |
| * CÁLCULO * Límites * Límite finito * Teoremas * Límite infinito * Operaciones con límites * Límites de polinomios * Límites tipo * Infinitésimos * Infinitos * Cálculo de límites * Ejercicios * Continuidad * Definición *Bolzano y Darboux * Weierstrass * Asíntotas * Derivada * Definición * Reglas de derivación * Rolle y Lagrange * Cauchy y L'Hôpital * Variación * Crecimiento * Concavidad * Función inversa * EA y RG * Descripción * Aproximación de raíces * Ejercicios * f(x) = ex(1-x) - 1 * f(x) = |x-2|e(1 + sg x)x/2 * f(x) = L2|x| - (x-1)2/2* f(x) = 2L(1+x) - x/(1+x) * f(x) = Lx + L|x-1| + (x2+1)/2 - 2x + 1 * f(x) = |xL|x|| - |1-x2|/4 * f(x) = (2L|x| + 1)/(L|x| + 1) - x/4e * Sucesiones y series * Sucesiones * Series * Ejercicios * MATEMÁTICA DISCRETA * Conteo * Definiciones * Ejercicios * Principio del Palomar * OTROS TEMAS * Lugares geométricos *Ejercicio 1 * Ejercicio 2 * Ejercicio 3 * Primos de Mersenne | | |
Continuidad | f(x)=x2 |
Intuitivamente, la continuidad significa que un pequeño cambio en la variable x implica sólo un pequeño cambio en el valor de f(x), es decir, la gráfica consiste de un sólo trozo de curva. |    | f(x)=sgn x |
En contraste, una gráfica como la de la función f(x) = sgn x (signo de x) queconsiste de pedazos de curva separados por un vacío en una abcisa exhibe allí una discontinuidad. La continuidad de la función f(x) para un valor a significa que f(x) difiere arbitrariamente poco del valor f(a) cuando x está suficientemente cerca de a.Expresemos esto en términos del concepto de límite... DefiniciónContinuidadUna función f(x) es continua en un punto a si limx->af(x) = f(a). Nota:observar que debe existir f(a) y debe existir el limx->a f(x) y debe ser igual a f(a). Ejemplos de discontinuidad | f(x)= 1/x2

Discontinua en x=0 (No existe f(0)) |
|     | f(x) = x2 si x 2

Discontinua en x=2.

Si bien existe f(2), no existe limx->2f(x), pues limx->2-f(x)=4 y limx->2+f(x)=0 |
Sin embargo, si miramos la función para x próximos a 2 pero menores, e ignoramos los x mayoresque 2, la función es continua en 2 "por la izquierda". DefiniciónContinuidad por la izquierdaUna función f(x) es continua por la izquierda en el punto a si existe f(a) y limx->a-f(x) = f(a). DefiniciónContinuidad por la derechaUna función f(x) es continua por la derecha en el punto a si existe f(a) y limx->a+f(x) = f(a). La función anterior es continua por la izquierda en x=2, pero no por laderecha.DefiniciónContinuidad en un intervalo cerrado [a,b]Una función f(x) es continua en un intervalo cerrado [a,b] si:
f es continua en a por la derecha
f es continua en b por la izquierda
f es continua en x, para todo x perteneciente al intervalo abierto (a,b) Clasificación de discontinuidadesEvitableCaso A:No existe f(a) pero existe limx->af(x). Ejemplo: |    | f(x)= e-1/x2 + 2 |
No existef(0) pues anula un denominador.limx->0-f(x) = limx->0+f(x) = 2 o sea limx->0f(x)=2Podemos extender la definición de la función, asignándole en el punto a el valor del límite, con lo cual la función se torna continua. Por ello este tipo de discontinuidad se denomina evitable. Caso B:Existe f(a) y existe limx->af(x)=b pero b≠f(a).
(Existe f(a) pero es distinto al valor del límite). Ejemplo: |    |f(x) = x2 si x≠2
        8 si x=2 |
f(2) = 8
limx->2 f(x) = 4 Asignándole a la función el valor 4 en x=2, se elimina la discontinuidad. No evitable1ª especie:limx->a-f(x) ≠ limx->a+f(x).
(Los límites laterales son distintos). Ejemplo: |    | f(x) = x/(x - 2) |
limx->2-f(x) = -inf
limx->2+f(x) = +inf2ª especie:No existe limx->a-f(x) o no existe limx->a+f(x).
(No existe por lo menos...