enteros y reales

Enteros, reales
Álgebra Superior

El conjunto de los enteros
El conjunto de los enteros esta constituido por los números
enteros negativos, los enteros positivos y el cero. Generalmente
se representa mediante la letra Z.
Z = {…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …}
La recta numérica sirve para representar gráficamente conjuntos
de números.
-7

-6 -5 -4 -3 -2 -1

0

1 2

3

4

5

67

8

El anillo de los enteros
Los enteros forman lo que se conoce como un anillo.
Un anillo es un conjunto dotado de las propiedades que se más
adelante.
En los enteros se definen dos operaciones la suma y la
multiplicación.

Las propiedades de estas operaciones se listan a continuación.

Valor absoluto de un entero
Definimos el valor absoluto como sigue.

El valor absolutode a se denota por |a| = a si a > 0 y |a| = –a si a <
0. Símbolicamente: a > 0 |a| = a a < 0 |a| = –a
Es decir, el valor absoluto de un entero es el número que resulta al
eliminar el signo que lo precede.
|4| = 4
|–33| = 33
|+45| = 45

Propiedades
Axioma 1. Propiedad conmutativa de la suma. Si a y b
entonces
a+b=b+a
Axioma 2. Propiedad asociativa de la suma. Si a, b y c
entonces
(a +b) + c = a + (b + c)
Axioma 3. Elemento neutro de la suma. Si a
a+0=0+a=a

Axioma 4. Inverso aditivo. Si a Z, entonces
a + (–a) = (–a) + a = 0

Z,

Z,

Z, entonces

Propiedades (cont.)
Axioma 5. Propiedad conmutativa de la multiplicación. Si a y b
Z, entonces
ab = ba
Axioma 6. Propiedad asociativa de la multiplicación. Si a, b y c
Z, entonces
(ab)c = a(bc)
Axioma 7. Elementoneutro de la multiplicación. Si a Z,
entonces
a1 = 1 a = a
Axioma 8. Propiedad distributiva de la multiplicación y la suma.
Si a, b y c Z, entonces
a(b + c) = ac + ab
(a + b)c = ac + bc

Propiedades del anillo de los enteros
Ley de cancelación
Se cumple la siguiente proposición: si a, b y c
c, entonces b = c.

Zya+b=a+

Demostración. Suponemos a + b = a + c. Sumamos a cada
miembrode la igualdad el inverso aditivo de a.
(–a) + (a + b) = (–a) + (a + c)
Por la propiedad asociativa.
((–a) + a) + b = ((–a) + a) + c
Por el axioma de elemento inverso de la suma.
0+b=0+c
Dado que 0 es el elemento neutro de la suma.
b=c

Propiedades del anillo de los enteros
(cont.)
Si a y b

Z y a + b = a, entonces b = 0.

Para todo entero a0 = 0a = 0.

Se cumple que –(–a) = a.Se cumple la siguiente regla de signos para el producto de dos
enteros.
(–a)b = –ab
(–a) (–b) = ab

Diferencia de enteros
Definimos la diferencia de dos enteros de la siguiente manera.
Si a y b

Z, a – b es la diferencia de a y b y se calcula como.
a – b = a + (–b)

Se cumple la siguiente ley distributiva.

Si a y b

Z, a(b – c) = ab – ac

Ley de cancelación para lamultiplicación
Si a, b y c

Z, y a

0, entonces ab = ac implica b = c.

Demostración. Ya ab = ac que tenemos que ab – ac = 0, de donde
a(b – c) = 0 y como a 0, entonces b – c = 0, o b = c.

Orden en los enteros
El conjunto de los enteros es un conjunto ordenado. Dados dos
números enteros el mayor de ellos es el que se encuentra más a
la derecha en la recta numérica y el menor es el que está ala
izquierda. Así, 3 > 2, 5 < 7,–3 < –2, 0 > –5.

Definimos el conjunto de los naturales N como el conjunto
formado por los enteros positivos, es decir N = {1, 2, 3, 4, …}.

Con este conjunto podemos precisar el orden en los enteros.

Propiedades de los naturales
Se cumplen las siguientes propiedades.
La suma de dos números naturales es un número natural.
El producto de dos númerosnaturales es un número natural.
Si a es un número entero, solo se cumple una de las
siguientes:
1. a es un número natural.
2. a = 0.
3. –a es número natural.

Operador >
Si a y b Z, se dice que a es mayor que b si a – b es un número
natural. Es decir, la diferencia de a y b es positiva.

Ejemplo:

5 > 4 ya que 5 – 4 = 1

N

– 3 > – 5 ya que – 3 –(– 5) = – 3 + 5 = 2

6 > – 6 ya...