Entrega Algebra

Tarea 6 Lunes 1 de Octubre
Algebra Lineal, MAT 1203
Entrega Lunes 8 de Octubre
Nombre de Grupo:
Integrante Nro 1:
Integrante Nro 2:

GLOSARIO COMANDOS MATLAB

zeros(k,l) : produce matriz nula de k filas y l columnas.
A(k,l) : calcula el coeficiente que está en la k- ésima fila y l-ésima columna.
A(: , k) : columna k de A.
A(k , : ) : fila k de A.
[A B] : es la matrizaumentada con las columnas de A seguidas de las columnas de B
A*B : producto de matrices, cuando sea posible.
A^k : la matrizAkpara k∈N.
A+B : suma de matrices, ambas deben ser de la misma dimensión.
A-B : resta de matrices, ambas deben ser de la misma dimensión.
rand(k,l) : produce una matriz aleatoria de k filas y l columnas.
A' : produce la matriz transpuestaconjugada (compleja) de A.
dot(x,y) : producto punto entre vectores de igual dimensión.
norm(x) : longitud del vector x
x'*y : producto punto de dos vectores columna reales x,y de (nx1)
u*v' : producto punto de dos vectores fila u,v reales de (1xn)
rref(A) : produce la forma escalonada reducida de A
inv(A) : produce la inversa de A, cuando ella existe
eye(n) : produce la matrizidentidad de nxn.
diag(A) : produce un vector columna con la diagonal principal de una matriz A
diag(v) : produce un matriz diagonal cuya diagonal principal es el vector x.
[P, L.U]= lu(A) : produce una factorización PA=LU, con pivoteo parcial.
R=chol(A) : produce la factorización de Cholesky con raiz cudrada
A=RtR , para una matriz simétrica definida posirtiva
x = A\b :Calcula la solución del sistema Ax=b
det(A) : Calcula el determinante de A

INSTRUCCIONES

Escriba el enunciado de cada problema y su solución en páginas separadas. En los problemas que se solicita usar comandos matlab es obligación usarlos. Sin embargo, en el resto de los problemas el uso de comandos matlab para realizar cálculos, si se necesitaran, es opcional.

Problema 1) SiPA=LU, donde P=0110, L=10-11, U=120-1, sin calcular A ni inversas, sólo resolviendo sistemas que involucran a L y U, determine x=A-12b donde b=2-1
( Usar x=C\b para resolver Cx=b)
Problema 2)
a) Demuestre que si KerA=0 entonces B=AtA es simétrica definida positiva.
b) Demuestre que si A es simétrica e invertible entonces A2es simétrica definida positiva
c)Demuestre que si A, B son simétricas definidas positivas de n×n entonces αA+βB es simétrica definida positiva para α, β>0.

Problema 3) La Regla de Cramer para resolver un sistema de ecuaciones Ax=b dice que la compoente i-ésima del vector solución es xi=detAidetA, donde Ai es la matriz que se obtiene reemplazando la columna i-ésima de A por el vector b. Resuelva mediante Cramer Ax=b donde
A= [0,2,1,-1; 2,1,-1,1; 0,1,1,1; -1,-1,1,1]; b = [ 2 0 1 -1]';
Verifique el resultado.

(Ayuda: Para simplificar el código matlab, mire lo que sucede ejecutando B =A, B(: ,1)=b. Similar para las otras columnas … )

Problema 4) Sea λ un número real y A matriz de n×n.. Demuestre que det A-λI=0 si y sólo si existe un vector no nulo x tal que A x =λ x
Problema 5) El menor Mi.j deuna matriz A de n×n es la matriz n-1×(n-1) que se obtiene eliminando la fila i y la columna j de A. Se define el cofactor Ci,j como Ci,j=-1i+j det⁡(Mi,j). La matriz adjunta de A es la transpuensta de la matriz de cofactores: AdjA=Ct.
d) Verifique con matrices aleatorias A que A AdjA=detAI y entoonces A-1=AdjAdet⁡(A)
e) Use el punto anterior para demostrar que si A tieneinversa entonces detAdjA=detAn-1

Ayuda: Considere el siguiente código
n= 4, A=rand(n,n); for i=1:n for j=1:n C(i,j) = (-1)^(i+j)* det( A([[1:(i-1),(i+1):4]],[[1:(j-1),(j+1):4]])); end; end;

Problema 6)
a) Explique porqué si A tiene elementos enteros y detA= ±1, entonces la inversa de A también tiene elementos enteros.
b) Determine valores de α para los cuales la...