enunciado

Ejercicios - L´ogica matem´atica
MATEMATICAS DISCRETAS I
Cristian Leonardo R´ıos L´opez, Ing

*

S´abado 29 de Agosto de 2015

1.

Ejercicios

c) q → ¬r
d) p ∨ q ∨ r

1. ¿Cu´
al de las siguiente frases son proposiciones? ¿Cu´al
es le valor de verdad de aquellas que son proposiciones?

e) (p → ¬r) ∨ (q → ¬r)
f ) (p ∧ q) ∨ (¬q ∧ r)
4. Determine si estas bicondicionales son verdaderas o
falsas

a)Boston es la capital de Massachusetts.
b) Buenos Aires es la capital de Artentina.
c) 2 + 3 = 5.

a) 2 + 2 = 4 si, y s´olo si, 1 + 1 = 2

d ) 5 + 7 = 10.

b) 1 + 1 = 2 si, y s´olo si, 2 + 3 = 4

e) x + 2 = 11.

c) Es invierno, si, y s´olo si, no es primavera, verano
u otro˜
no.

f ) Responde a esta pregunta.

d ) 1 + 1 = 3 si, y s´olo si, los cerdos vuelan.

g) x + y = y + x para todo par de n´umeros reales
x e y.

e) 0 > 1 si, y s´olo si, 2 > 1
5. Determine en cada una de estas frases si el o es inlusivo o esclusivo. Razona tu respuesta

2. Sean p y q los enunciados
p: Compr´e un billete de loter´ıa esta semana.
q: Gan´e el bote de un mill´
on de euros del viernes.
Exprese cada una de las siquientes f´
ormulas en lenguaje natural.

a) Se requiere experiencia en Java o C++.
b) La comidainlucye ensalada o sopa.
c) Para entrar en este pais necesitas pasaporte o
tarjeta de votante.

a) ¬p
b) p ∨ q

d ) Publica o perece.

c) p → q
6. Enuncia la rec´ıproca, contrarec´ıproca e inversa de cada una de estas implicaciones.

d) p ∧ q
e) p ↔ q
f ) ¬p → ¬q

a) si neva hoy, esquiar´e ma˜
nana.

g) ¬p ∧ ¬q

b) Voy a clase siempre que vaya a haber un control.

h) ¬p ∨ (p ∧ q)

c) Un enteropositivo es primo si, y s´olo si, no tiene
otros divisores m´as que 1 y ´el mismo.

3. Sean p, q y r los enunciados
p: Tienes fiebre
q: Suspendes el examen final
r: Apruebas el curso
Exprese cada una de las siguientes f´
ormulas en lenguaje natural

d ) Si llueve esta noche me quedar´e en casa.
e) Cuando me acueste tarde es necesario que duerma hasta medio d´ıa.
7. Construye las tablas de verdad paracada una de estas
f´ormulas

a) p → q

a) p ∨ q ∨ r

b) ¬q ↔ r

b) (p ∨ q) ∧ r
c) (p ∧ q) ∨ r

* cristian.rios@correounivalle.edu.co

1

d) p ∧ q ∧ r

c) ∃x¬P (x)

e) (p ∨ q) ∧ ¬r

d ) ∀x¬P (x)

f ) (p ∧ q) ∨ ¬r

16. Sea P (x) la sentencia ”x habla ruso Q(x) ”x conoce
el lengauje de programaci´on C++”. Exprese cada una
de las siguiente sentencias en t´erminos de P (x), Q(x),
cuantificadores yconectivos l´ogicos. El dominio para
los cuantificadores consiste en todos los estudiantes
de la facultad.
2

g) ((p → q) → r) → s
8. Una antigua leyenda siciliana dice que el barbero de
una remota ciudad, a la que s´
olo se puede llegar a
trav´es de un peligroso camino de monta˜
na, afeita a
aquellas personas, y s´
olo a aquellas personas, que no
se afeitan a s´ı mismas. ¿Puede existir el barbero?a) Hay un estudiantes en tu facultad que habla ruso
y conoce C++.

9. Demuestre empleando tablas de verdad, que cada una
de las siguientes implicaciones es una tautolog´ıa.

b) Hay un estudiante en tu facultad que habla ruso
pero no conoce C++.

a) [¬p ∧ (p ∨ q)] → q

c) Todos los estudiantes de tu facultad hablan ruso
o conocen C++.

b) [(p → q) ∧ (p → r)] to(p → r)

d ) Ning´
un estudiante de tufacultad habla ruso o
conoce C++.

c) [p ∧ (p → q)] → q
d ) [(p ∨ q) ∧ (p → r) ∧ (q → r)] → r

17. Sup´on que el dominio de la funci´on proposicional
P (x) consiste en los enteros −5, −3, −1, 1, 33, 5. Exprese las siguientes sentencias sin usar cuantificadores, s´olo disyunciones, conjunciones y negaciones.

10. Demuestre, si usar tablas de verdad que cada una de
las implicaciones del puntoanterior son una tautolog´ıa.
11. Demuestre que (p → r) ∧ (q → r) y (p ∨ q) → r son
l´
ogicamente equivalentes.

a) ∃xP (x)

12. Encuentre una f´
ormula en funci´
on de las proposiciones p, q y r que sea verdadera cuando p y q sean verdaderas y r sea falsa, pero que sea falsa en cualquier
otro caso.

c) ∀x((x = 1) → P (x))

b) ∀xP (x)
d ) ∃x((x ≥ 0) ∧ P (x))
e) ∃x(¬P (x)) ∧ ∀x((x < 0) → P (x))

13. Se...