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Sucesión convergente
Toda sucesión que tenga límite se dice que es convergente.
 Una sucesión (an  ) que tenga por límite I, se dirá que tiende a I o que converge a I.
 
 

 
Resolución:
 Se toma un  cualquiera (sin especificar más).
 
Hay que encontrar un no   tal que para n no , 0 -  < an  < 0 + .
 
 

 

 

 

 

 

 

 

 
 
2. Decidir si la sucesiónde término general

es convergente y, en caso afirmativo, hallar el límite.
 
Resolución:
 Para n =1, a1 = -1/6 = -0,1666
 
Para n = 7, a7 = 0,9166
 

a10000 = 1,9997001; a30000 =1,9995667;...
Todo parece indicar que el límite de esta sucesión, cuando n tiende a infinito, es 2.
 
Para probarlo, se hará uso de la definición.
 
 Se toma un  cualquiera.
 
 Hay que ver a partirde qué n se cumple |an   - 2| < .
 
 
                                           
 

13 < (n + 5) = n + 5  13 - 5 < n.
 

 

 

Sucesiones divergentes
Una sucesiónes divergente si los términos se aproximan cada vez más a infinito o a menos infinito (+ó ). Expresado de forma rigurosa:
 
Una sucesión (an  ) tiene por límite +ó diverge a +si elegido unnúmero k tan grande como se quiere, se puede encontrar un subíndice no   tal que para cualquier
n  no  , an   > k.
 
Esto es equivalente a afirmar que para n  no  , an   está en el intervalo (k, +,es decir, los términos se hacen tan grandes como se quiera.
 
Una sucesión (an  ) tiene por límite -ó diverge a -si elegido un número k tan
grande como se quiere, se puede encontrar unsubíndice no   tal que para cualquier
n  no  , an   < -k.
 
Esto equivale a decir que para n  no  , an   pertenece al intervalo (-k
 
Igual que en las sucesiones convergentes, para cadanúmero k elegido, el subíndice no   será distinto. Cuanto mayor sea k, mayor resultará no   .
 
Sucesión oscilante
Una sucesión (an  ) se dice que es oscilante si no es convergente ni divergente....