Enviando 09 Limites Continuidad Y Asintotas 1

BLOQUE III
Análisis
9.
10.
11.
12.
13.
14.

Límites, continuidad y asíntotas
Cálculo de derivadas
Aplicaciones de las derivadas
Análisis de funciones
y representación de curvas
Integral indefinida
Integral definida

9

Límites, continuidad
y asíntotas

1. Límite de una función en un punto
■ Piensa y calcula
Completa mentalmente la tabla siguiente:
Solución:
x

1,9

1,99

1,999

8

2

8

2,0012,01

2,1

f(x) = x + 1

2,9

2,99

2,999

8

3

8

3,001

3,01

3,1

● Aplica la teoría
1. Observando la gráfica, halla el límite en cada caso; si no
existe, justifícalo:
a) lím f(x)

Ȋ2x – 2 – 5Ȋ = 3Ȋx – 1Ȋ < 3

b) lím g(x)
x8 3

x8 3

Y

Siempre que 0 < Ȋx – 1Ȋ < 1 = e/3, se tiene

Y

f(x)

3. Completa las tablas para estimar el límite en cada caso:

g(x)

x
X

X

0,9

x2

1,01

1

8

1,001

18

–1

a) lím – (x2 – 1)

b) lím+ (x2 – 1)

x8 1

x8 1

Solución:

x8 3

8

1

–0,19 –0,0199 –0,001999 8

0

x

b) lím g(x) no existe porque los límites laterales son
x8 3

distintos.
lím – g(x) = – 2; lím+ g(x) = 1

0,9

f(x) = x2 – 1
x

1,1

f(x) = x2 – 1

0,21

0,99

0,999

1,001

8

1

0,0201 0,002

8

0

1,01

x8 3

x8 1

Solución:
Hay que demostrar que para todo e > 0, existe un d > 0
talque
Ȋ3x + 2 – 5Ȋ < e siempre que 0 < Ȋx – 1Ȋ < d
Ȋ3x + 2 – 5Ȋ = Ȋ3x – 3Ȋ = Ȋ3(x – 1)Ȋ = 3Ȋx – 1Ȋ
Para cualquier e > 0, se puede tomar d = e/3 y se cumple
la condición:

a) lím – (x2 – 1) = 0
x8 1

b) lím+ (x2 – 1) = 0
x8 1

4. Calcula mentalmente los siguientes límites:
2x
x+3

a) lím (x3 – 2x + 1)

b) lím

c) lím √ x2 + 4

d) lím 5x – 2

e) lím L (4x + 2)

f) lím sen (2x + π)

x8 2
x8 0
x8 1

x8 3x8 2

x 8 π/2

SOLUCIONARIO

© Grupo Editorial Bruño, S.L.

2. Demuestra que el lím (3x + 2) = 5

262

8

0,999

8
1,1

f(x) =

Solución:
a) lím f(x) = 4

0,99

f(x) = x2 – 1
x

x8 3

e
=e
3

Solución:
a) lím (x3 – 2x + 1) = 8 – 4 + 1 = 5

d) lím 5x – 2 = 50 = 1
x8 2

x8 2

2x
6
b) lím
=
=1
6
x8 3 x + 3
c) lím

x8 0

√ x2

e) lím L (4x + 2) = L 6
x8 1

+ 4 = √4 = 2

lím sen (2x + π) = sen 2π = 0f)

x 8 π/2

2. Límite de una función en el infinito
■ Piensa y calcula
Completa mentalmente la siguiente tabla:
Solución:
– @ 6 – 1 000 – 100

x
f(x) = 1/x

0

– 0,001 –0,01

– 10

–1

1

10

100

1 000 8 + @

–0,1

–1

1

0,1

0,01

0,001

0

● Aplica la teoría
5. Usa la gráfica para estimar el límite en cada caso; y si no
existe, justifícalo:

log x
x2

g) lím

( )

x 8 +@

a) lím f(x), límf(x) siendo f(x) =
x 8 +@

x8 –@

e) lím

x+1
x–1

x 8 +@

b) lím g(x), lím g(x) siendo g(x) = sen x

f)

x2
2
x –5

x

lím

x8 –@

√ x2 + 1

x

h) lím

ex – 5
L (x + 5)

j)

(√ x2 + x – 3x)

x 8 +@

x 8 +@

x8 –@

Y

Y

x+1
f(x) = –––––
x–1

i)

lím x2 · 2– x

x 8 +@

lím

x8 –@

g(x) = sen x
X

X

Solución:
a) @ + @ = + @
b) [@ – @] = lím x2 = +@
x 8 +@

(
x 8 +@

b) lím g(x) no existe porque lafunción sen x está osx8 –@

cilando continuamente entre –1 y 1
No se acerca a ningún valor cuando la x tiende a –@
lím g(x) no existe porque la función sen x está osci-

lando continuamente entre – 1 y 1
No se acerca a ningún valor cuando la x tiende a +@

[]
[ ]

h)

c) lím

x8 +@

2– x

b) lím (x2 – 3x)
x 8 +@

d) lím

x 8 +@

x– 5

TEMA 9. LÍMITES, CONTINUIDAD Y ASÍNTOTAS

(

)

[]

@
= +@
@(Observa que:
i)

o una indeterminación:
x8 +@

)

–@
Indeterminado.
@
g) [1∞ ] Indeterminado.

f)

6. Indica si los siguientes límites son infinitos, un número
a) lím (x2 + 3x)

x 8 +@

1
=0
@
d) @–5 = 0
@
e)
= 0 Observa que: lím log x < lím x2
@
x 8 +@
x 8 +@

x8 +@

© Grupo Editorial Bruño, S.L.

x 8 +@

c)

Solución:
a) lím f(x) = 1, lím f(x) = 1
x8 –@

Observa que: lím x2 > lím 3x

lím

x 8 +@lím ex – 5 > lím L (x + 5)

x 8 +@

x 8 +@

)

[]

x2
@
=0
=
@
2x

(Observa que:

lím x2 < lím 2x

x 8 +@

x 8 +@

)

j) @ + @ = + @

263

3. Límites de funciones polinómicas y racionales
■ Piensa y calcula
Indica cuál de las siguientes expresiones es determinada, y calcula el resultado, y cuál indeterminada:
0
4
0
5
b) @3
c)
d)
e)
f)
a) (–@)3
0
4
0
@

g)

@
@

Solución:
a) (–@)3 = – @
e)

[]...