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Unidad

Números
y raíces

EN ESTA UNIDAD APRENDERÁS A:
• Caracterizar los números irracionales como aquellos que no pueden ser escritos como
un cuociente entre dos números enteros.
• Caracterizar los números reales como aquellos que corresponden a la unión de los números
racionales e irracionales.
• Utilizar los números reales en la resolución de problemas, reconocer sus propiedadesy
realizar aproximaciones por defecto, por exceso y por redondeo.
• Ubicar algunas raíces en la recta numérica y explorar situaciones geométricas en las que
ellas están presentes.
• Analizar la demostración de la irracionalidad de algunas raíces cuadradas.
• Interpretar y calcular la raíz enésima de un número real y reconocer algunas propiedades.
• Relacionar las raíces enésimas con laspotencias de exponente racional.

12 | Unidad 1

CONVERSEMOS DE:
El matemático italiano Leonardo Fibonacci (1170-1230), famoso por sus estudios acerca de
la validez del sistema de numeración árabe y la importancia del cero, formuló la siguiente sucesión:
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21...
Si observas, cada número de la sucesión es igual a la suma de los dos términos anteriores; además,
estos vienendados por la fórmula:
⎡
n
n⎤
1 ⎢⎛1 + 5 ⎞ ⎛1 – 5 ⎞ ⎥
Fn =
⎜
⎟ –⎜
⎟
⎢
⎥
5 ⎣⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎦
Años después del planteamiento de la sucesión, los astrónomos descubrieron que la relación entre
los planetas en el sistema solar podía ser descrita mediante los números de Fibonacci;
otros descubrimientos surgieron en la Biología, relacionando la sucesión con la conformación de las plantas
cuyostallos o pétalos tienen forma de espiral, así como en la concha de algunos moluscos, por ejemplo,
la concha de un nautilus. En el ejemplo anterior, se muestra una de las múltiples aplicaciones de las raíces,
que estudiarás en esta unidad, como también se enseña una vez más la increíble relación entre
la Matemática y el mundo que nos rodea.

Números y raíces

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¿Cuánto sabes?Recuerda lo que aprendiste en años anteriores y resuelve en tu cuaderno.
1. Descompón los siguientes números como producto de factores primos:
a. 256

c. 1 525

e. 1 936

b. 441

d. 2 020

f. 2 187

2. Determina cuál o cuáles de las siguientes expresiones son
verdaderas. Justifica tu decisión.
2

–2

a. 3 : 3

2

2

2

0

c. 3 + 4 = 5

5

b. 3 = 15

e. (5x) = 1, x ≠ 0⎛ 1 ⎞–2
d. ⎜ ⎟ = 16
⎝4⎠

=1

⎡
⎤0
⎛ 1 ⎞−3 ⎥
= 0, x ≠ 0
f. ⎢⎜ ⎟
⎢
⎥
⎣⎝ x ⎠ ⎦

3. Resuelve cada ejercicio aplicando las propiedades de las potencias.
⎛ 3 ⎞−1 ⎛ 1 ⎞2
a. ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟
⎝7⎠
⎝2 ⎠

g. 3 · 3

⎛ 1 ⎞2
4
b. ⎜ ⎟ + 3
⎝9⎠

h. 4

2

4

3

–3

c. (–1) + (–1) + (–1)
d. 2

–2

i. (a

5

–3

·2 ·2

–3

:4

–2

3

3

:a )·a

⎡ 3
⎤
⎛ ⎞
⎛⎞−2
−5
j. ⎢⎜ 1 ⎟ : n ⎥ ⋅ ⎜ 1 ⎟ , n ≠ 0
⎢⎝ n ⎠
⎥ ⎝n ⎠
⎣
⎦

4

:2

2a – 3

e. x

2

+ (–1)

–5

–2

3a + 4

·x

5–a

·x

2
⎛
2 3⎞
⎜ −6a x ⎟ , z ≠ 0
f.
⎝ 3z ⎠

k. w

a–4

7 – 3a

·w

2a

·w

⎛ 2 p −3q ⎞2
a
⎟
l. ⎜
⎜ 3 p −2 q ⎟ , a ≠ 0
⎝a
⎠

4. Resuelve los siguientes problemas y explica, paso a paso,
el procedimiento que utilizaste.
a. Siel lado de un cuadrado aumenta al doble, ¿a cuánto aumenta
su área?, ¿y su perímetro?
b. La arista de un cubo mide a cm. Si la arista del cubo se disminuye
a su cuarta parte, ¿a cuánto disminuye el volumen del cubo?

14 | Unidad 1

Unidad 1

5. Reduce las siguientes raíces (con a y b números positivos):
a.

2 ⋅ 8 ⋅ 18

b.

64
4

4b ⋅ 12b

e.
f.

8a

3

6

4 4

a bc. 3 7 ⋅ 3 28 ⋅ 3 14

g. 3 −64a ⋅ 3 4a ⋅ 3 −a

d. 3 4 ⋅ 3 12 ⋅ 3 9

h.

3 7 4

a b

3 4 10

a b

Compara tus respuestas con las de tus compañeras y compañeros.
¿Te equivocaste en alguna?, ¿cuál fue el error? Explícalo y resuelve
correctamente el ejercicio.

¿QUÉ DEBES RECORDAR?
• Al resolver operaciones con números racionales, tienen prioridad la multiplicación y división...