Envolventesa

envolventesEnvolventes Convexas I
p
q
p
q
Definición: Un conjunto C del plano afín es convexo si dados dos puntos cualesquiera p y q de C, el segmento que une p y qestá contenido en C.
Segmento: [p,q]=(1-t)p+tq, t ∈ [0,1]
p
q
Convexo
No Convexo
q
p
p
q
Convexo
No Convexo
q
p

Nota: la intersección de conjuntos convexos esconvexo
Definición: La envolvente convexa de un conjunto de puntos P es el menor conjunto convexo que contiene a dichos puntos (es decir, la intersección de todos losconjuntos convexos en los que P está contenido).

Envolventes Convexas II
Definición: La envolvente convexa de un conjunto de puntos P es el menor conjunto convexo que contiene adichos puntos.

Resultado: Dado P={p1, … , pn}, C(P) coincide con el conjunto de las combinaciones convexas de los elementos de P, es decir,
C(P)={a1 p1 +…+an pn \ a1+…+an =1, a1 ≥ 0}

Casos particulares:
* C formado por dos puntos: C(P) es un segmento
* C formado por tres puntos: C(P) es un triángulo

EnvolventesConvexas III
Resultado: Como las transformaciones afines respetan combinaciones convexas, si f es una transformación afín,
f(C({p1 ,…, pn}))=C({f(p1 ), …, f(pn)})Conclusión: basta girar, trasladar, hacer simetrías, homotecias, etc., con los puntos de P y luego hallar su envolvente convexa.


Envolventes Convexas IV
Resultado: Si P={p1,…, pn} y no todos ellos están alineados, entonces:
C(P)=D(q1, q2)∩ D(q1, q3)∩ …∩ D(qn-1,qn),
Donde q1, …,qn son elementos de P y se llaman vértices de la envolvente.Llamamos D(p,q) al semiplano que queda a la derecha (se comprueba estudiando el signo de un determinante) de la recta que determinan los puntos p y q, con vector director pq.