Eonomia

EL JUEGO DE DEMANDA DE NASH “SUAVIZADO”
Para explicar en qué sentido usamos la palabra “estable”, es necesario considerar una versión “suavizada” del juego de demandas de Nash en el que losjugadores no están muy seguros de cómo es el conjunto de factibles X. Por tanto, no saben a priori si un par (x1, x2) será compatible o no. Lo mejor que se puede hacer es asignar una probabilidad p(x1,x2) al suceso de que un par de demandas será compatible.
La figura 1.1(a) indica que algunas graficas para la función p: [0, 1]2 [0,1]. Por ejemplo, si un par de de demandas x=(x1, x2) seencuentra en 0 por debajo de la grafica p(x)=2/3, entonces la probabilidad de que el par de demandas x sea compatible es por lo menos 2/3. En este caso, los jugadores saben que la frontera del conjunto X seencuentra en la franja limitada por las regiones representadas por p(x)=0 y p(x)=1. Si el grado de incertidumbre que padecen es pequeño, la franja será estrecha.

Este análisis centrara en saberque ocurre cuando la amplitud se hace infinitamente pequeña.
La función de pagos del jugador i en el juego de demandas suavizado es
Πi(x1, x2)= xip(x1, x2)

Porque si escoge el par dedemandas (x1, x2), el resultado es una lotería en la que el jugador i obtiene xi, con probabilidad del p(x1, x2) y nada con probabilidad 1- p(x1, x2).
Supondremos que la función: [0, 1]2[0,1]se comporta la bastante bien como para que, con los planteamientos sencillos, podamos calcular con éxito las funciones de reacción. Para determinar sus respuestas optimas a la demanda de x2,x1 puede simplemente derivar su función de pagos parcialmente con respecto a x1, manteniendo x2 constante. Entonces se iguala a cero con la derivada parcial que se obtiene, ∂π1/∂x1 . Estoproporciona la ecuación
xipx1(x1, x2) + xip(x1, x2) = 0
Para la curva de reacción de x1. Análogamente, la curva de reacción de x2 tiene la ecuación.
La figura 1.1(b) muestra la forma típica de las...