Epistemología Y Didáctica

1. Epistemología – objeto del saber científico – objetos de enseñanza

En un primer nivel, el análisis epistemológico es necesario para el didáctico ya que tiene el fin de ayudarle a colocar a distancia y bajo control las “representaciones epistemológicas” 2 de las matemáticas inducidas por la enseñanza:

• Proporcionando una historicidad a los conceptos matemáticas que la enseñanza usualtiende a presentar como objetos universales tanto en el tiempo como en el espacio.
• Proporcionando, a la vez, una historicidad a las nociones matemáticas como las de rigor, ya que la enseñanza usual cultiva la ficción de un rigor eterno y perfecto de las matemáticas.

2 La noción de “representaciones epistemológicas” se introduce aquí para diseñar las concepciones que se forjan dentro de estedominio un individuo dado, a través de su propia vivencia matemática. Esa noción se acerca a las representaciones “metacognitivas” introducidas por A. Robert y J Robinet (cf. por ejemplo (3)): las representaciones epistemológicas constituyen, de hecho, uno de los componentes de las representaciones metacognitivas.
Dentro del mundo de la enseñanza, la introducción dentro del rigor matemático sesimboliza por la introducción dentro del universo de la geometría demostrativa, y la referencia implícita o explícita a la geometría griega ligada a esta representación, contribuye a conducir y reforzar esta ficción de un rigor fuera del tiempo y del espacio.

El análisis epistemológico (cf. Por ejemplo “El rigor y el cálculo” (1), E. Barbin (2)) coloca en evidencia la evolución del rigor con elpaso del tiempo, su dependencia de los dominios matemáticos relativos y los niveles de elaboración de los objetos que el manipula. El ejemplo del Calculo Infinitesimal me parece particularmente significativo en esta dependencia del campo. Este se va a desarrollar, a partir del siglo XVIII, esencialmente alrededor de los métodos: método de los indivisibles (Cavalieri, Roberval...), método deigualación (Fermat), método de particiones infinitesimales (Leibniz, Bernoulli...), método de series (este ultimo constituye un proceso efectivo para el estudio de las funciones sobre todo durante el siglo XVIII).

Y aquello que valida estos métodos, por lo menos durante los primeros tiempos, es ante todo, su carácter, es decir su capacidad de adaptación a la resolución de una gran cantidad deproblemas y su productividad. El entusiasmo del extracto del prefacio del primer tratado de Calculo Infinitesimal escrito por Le Marquis de L’Hospital (4) demuestra estos sentimientos:

“ El alcance de este cálculo es inmenso: es conveniente para el estudio de las curvas tanto mecánicas como geométricas, los signos radicales le son indiferentes y a menudo cómodos, se extiende a tantas indeterminadascomo se quiera; y es igualmente fácil la comparación de infinitesimales de todos los géneros Mas allá de una infinidad de descubrimientos sorprendentes”.

A través de esta relativización del rigor, el análisis epistemológico igualmente nos muestra que los problemas de fundamento esta lejos de ser siempre “primeros” en matemáticas. El ejemplo del Análisis es, por ésta razón, aún sorprendente:sus fundamentos no se aplican sino después de siglos de utilización, la investigación sobre los fundamentos es, por otra parte, motivada mas por la necesidad de transmitir la ciencia que por las necesidades resultado del desarrollo científico. (cf. Por ejemplo Dahan, J. Peiffer (5)).
En esta dirección, aquella de la vigilancia epistemológica, de la toma de distancia con respecto al objeto deestudio, el análisis epistemológico igualmente permite al didáctico tomar la medida de las diferencias existente entre saber “sabio”, para retomar la expresión que introdujo Y Chevallard en (6), y saber “enseñado”. De hecho, ya que la Escuela vive sobre la ficción que consiste en ver dentro de los objetos de enseñanza las copias simplificadas pero fieles de los objetos de la ciencia, el análisis...