Epsilon-Delta

C´mo usar ”epsilon-delta” para probar que un l´ o ımite es igual o no a un n´ mero dado u
Ejemplo 1: Probar que:
x→0

l´ x2 cos x = 0 ım

usando la definici´n formal de l´ o ımite. Soluci´n:Como la idea es probar que el l´ o ımite s´ es 0, hay que hallar ı para cada > 0 un δ > 0 que va a depender de , es decir, va a estar dado por una funci´n de , que haga lo siguiente: o Si 0 < |x| < δentonces x2 cos x < Necesitamos relacionar con δ a trav´s de una funci´n. Para esto siempre e o vamos a suponer que es un n´ mero positivo fijo que nos han u dado y a partir de ´l encontrar condicionespara que la inecuaci´n de e o la derecha se cumpla. En este caso tenemos que para este fijo se debe cumplir: |x2 cos x| < − < x2 cos x < Como sabemos que −1 < cos x < 1 entonces −x2 < x2 cos x < x2 paratodo x, puesto que x2 siempre es mayor o igual que cero, y esta ultima ´ desigualdad la podemos reescribir como |x2 cos x| < x2 , ¿qu´ pasa si hae cemos que x2 < ? Entonces tendr´ ıamos |x2 cos x|
Si 0 < |x| < δ =

entonces 0 < x2 <

entonces |x2 cos x| <

Queera lo que quer´ ıamos. Ejercicio: Con el mismo m´todo del ejemplo anterior, mostrar e 1 que l´ x4 sin x = 0 ım
x→0

Ejemplo 2: Probar que: 1 1 − =0 2 x→0 x x l´ ım 1

usando la definici´nformal de l´ o ımite. Soluci´n: Como la idea es probar que el l´ o ımite no es 0, hay que hallar un > 0 para el que ninguna escogencia de δ funcione. Es decir, que sin importar la escogencia de δ > 0siempre halla un x0 que haga lo siguiente 0 < |x0 | < δ y 1 1 ≥ 2 − x x0 0

Este x0 va a depender de δ y va a ser un “testigo”de que δ no sirve. Convenientemente vamos a escoger = 1 y mostrar que ningunaescogencia de δ va a funcionar. Vamos a resolverlo en dos casos: Caso 1: Si δ ≥ 1, entonces podemos escoger x0 = 0 < |x0 | =
1 2

ya que:

1 1 1 − 2 x2 x0 0
δ 2

Caso 2: Si δ < 1 entonces...

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