Equacions I Sistemes (Cat)

APUNTS: EQUACIONS I SISTEMES

MATEMÀTIQUES 3R ESO

EQUACIONS DE 1r GRAU.
• Equació: és una expressió algèbrica que només és certa per algun valor de les incògnites (les incògnites d’una equació són les lletres que hi apareixen). Identitat: és una expressió algèbrica certa per a qualsevol valor de les incògnites. Exemples: 3.(x + 5) = 15 + 3x IDENTITAT 7x + 5 = 3x + 1 EQUACIÓ Grau d’unaequació: és el grau del terme de grau més gran de l’equació. Solucions d’una equació: les solucions o arrels d’una equació són els valors de les incògnites que la converteixen en una igualtat numèrica. Equacions equivalents: són aquelles que tenen les mateixes solucions. Equacions tipus ax + b = cx + d: Per resoldre-les seguirem els passos següents: 1) Es passen els termes amb “x” a l’esquerra delsigne igual (també es podrien passar a la dreta), i els termes independents a la dreta, tenint en compte que si un terme canvia de costat del signe igual, canvia de signe. 2) S’operen els termes amb “x” entre ells, i els termes independents també entre ells. 3) S’aïlla la incògnita “x”: el coeficient de la “x” passa dividint al costat contrari del signe igual, sense canviar de signe.

•

• •

••

Exemple:

resol

5x + 5 = 3x + 13

1) 5x – 3x = 13 – 5 2) 2x = 8 3) x =
8 2

x=4

1

APUNTS: EQUACIONS I SISTEMES
•

MATEMÀTIQUES 3R ESO

Equacions amb parèntesis: Abans de realitzar els tres passos cal fer un pas previ: eliminar els parèntesis. Exemple: resol
5.(x + 1) = 3.(x + 2) + 7

0) 5x + 5 = 3x + 6 + 7 1) 5x – 3x = 13 – 5 2) 2x = 8 8 3) x = 2

x=4

•Equacions amb denominadors:
Un cop s’hagin tret els parèntesis (si n’hi ha), i abans de realitzar els tres passos explicats anteriorment, cal eliminar els denominadors, cosa que s’aconsegueix reduint a comú denominador.

Exemple:
5x 7x − 5 − x +1= 4 6 mcm = 12

3.(5 x ) 12 x 12 2.(7 x − 5) − + = 12 12 12 12 15x – 12x + 12 = 14x – 10 15x – 12x – 14x = –10 – 12 –11x = –22 x= − 22 − 11

x=2

2APUNTS: EQUACIONS I SISTEMES

MATEMÀTIQUES 3R ESO

EQUACIONS DE 2n GRAU.
Són equacions on trobem la incògnita elevada al quadrat. Les equacions de segon grau tenen, com a màxim, dues solucions. Distingirem 3 casos:

a) Cas “ax2 + c = 0”: Es resol com si es tractés d’una equació de primer grau, però quedarà aillada la “x2” en lloc de la “x”, i per tant caldrà fer una arrel quadrada pertrobar les solucions de “x”. Exemple:
8x2 = 32 x2 = 32 8 x2 = 4 x2 = ± 4

x = 2 i x = –2

b) Cas “ax2 + bx = 0”: Es resol traient factor comú, i llavors queden dos termes que es multipliquen i donen zero; per tant, o és zero un, o és zero l’altre.
Exemple: 3x2 –7x = 0 x.(3x – 7) = 0

x=0 3x – 7 = 0

x=7/3

c) Cas general: “ax2 + bx + c = 0”:
És el cas més habitual. Es troben les duessolucions de “x” mitjançant la següent fórmula:

− b ± b2 − 4 . a . c x= 2.a
Els casos a) i b) també es poden resoldre mitjançant aquesta fórmula.

Exemple:

resol l’equació

x2 + 3x – 4 = 0

x=

− ( +3) ± ( +3) 2 − 4.(1).( −4) − 3 ± 9 + 16 − 3 ± 25 − 3 ± 5 = = = = 2.(1) 2 2 2
x=2/2

x=1 x = –4 3

= x = –8 / 2

APUNTS: EQUACIONS I SISTEMES

MATEMÀTIQUES 3R ESO

SISTEMESD’EQUACIONS.
•

Sistemes d’equacions lineals de 2 equacions amb 2 incògnites:
No es pot resoldre una sola equació que tingui dues o més incògnites. Per resoldre un sistema d’equacions cal que hi hagi tantes equacions no equivalents com incògnites. Per resoldre els sistemes de 2 equacions amb 2 incògnites estudiarem 4 mètodes:

a) Mètode de REDUCCIÓ: Es tracta d’eliminar (reduir) una de les duesincògnites per calcular l’altra; per poderne eliminar una s’ha d’aconseguir que en les dues equacions els coeficients d’aquesta incògnita siguin iguals, però amb signe diferent, de manera que en sumar les dues equacions desaparegui aquesta incògnita. Per tal d’aconseguir que els coeficients d’una incògnita siguin iguals es poden mulitiplicar o dividir les equacions pel nombre que es vulgui,...