Error De Redondeo

Error de redondeo, al restar dos números iguales.
Considere las ecuaciones:
31.69 x + 14.31 y = 45.00
13.05 x + 5.89 y = 18.53
Por ejemplo, el número real se puede representar en punto flotante con una matisa de ocho cifras de dos formas, con redondeo por recorte o con redondeo simétrico.

En la forma de recorte, solo se toma las primeras ocho cifras del número y se desecha el resto

Enla forma de redondeo simétrico, el valor de la primera cifra a desechar (la novena en este caso) define el valor de la última cifra a conservar, si es cinco o mayor, se incrementa el valor de la última cifra a conservar, en caso contrario se deja igual. para este caso, la primera cifra a desechar es 8, por lo que la ultima cifra a conservar (el 2) se incrementa a 3

La representación del númeroanterior () en una mantisa de cinco cifras es igual tanto en redondeo simétrico como en redondeo por recorte, ya que la primera cifra a desechar es un valor 1, esto es:

Redondeo: Es el proceso mediante el cual se eliminan decimales poco significativos a un número decimal. Si tenemos con seguridad una cantidad de cifras exactas de un número decimal, podemos dar una aproximación de ese número demenos cifras de dos formas:
* Truncamiento: Cortamos el número a partir de cierta cifra. Por ejemplo π = 3,141592:::, truncado a las milésimas sería π = 3,141 y a las diezmilésimas π = 3,1415
* Redondeo: Cortamos el número a partir de cierta cifra, pero sumamos uno a la última cifra que aparezca, en el caso de que la primera que omitamos sea mayor o igual que 5. Por ejemplo, redondeando elnúmero π = 3,141592::: a las centésimas tenemos π = 3,14, a las milésimas π = 3,142 y a las diezmilésimas π = 3; 1416. En general es preferible el redondeo al truncamiento, ya que cometemos un error menor.
Las reglas del redondeo se aplican al decimal situado en la siguiente posición al número de decimales que se quiere transformar, es decir, si tenemos un número de 3 decimales y queremosredondear a 2, se aplicará las reglas de redondeo:
Dígito menor que 5: Si el siguiente decimal es menor que 5, el anterior no se modifica. Ejemplo: 12,612. Redondeando a 2 decimales deberemos tener en cuenta el tercer decimal: 12,612= 12,61. Dígito mayor que 5: Si el siguiente decimal es mayor o igual que 5, el anterior se incrementa en una unidad. Ejemplo: 12,618. Redondeando a 2 decimales deberemostener en cuenta el tercer decimal: 12,618= 12,62. Ejemplo: 12,615. Redondeando a 2 decimales deberemos tener en cuenta el tercer decimal: 12,615= 12,62. Estimación:
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* Ejemplo: 12,612. Redondeando a 2 decimales deberemos tener en cuenta el tercer decimal: 12,612= 12,61.

* Dígito mayor que 5: Si el siguiente decimal es mayor o igual que 5, el anterior se incrementa en unaunidad.
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* Ejemplo: 12,618. Redondeando a 2 decimales deberemos tener en cuenta el tercer decimal: 12,618= 12,62.
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* Ejemplo: 12,615. Redondeando a 2 decimales deberemos tener en cuenta el tercer decimal: 12,615= 12,62.

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Cuando yo estudiaba cálculo numérico en la universidad, nos enseñaban la problemática de sacar un resultado en base a operar con números muchomayores: se pierde muchísima precisión. Es decir, que es mucho más cierto decir que 3-1=2 que decir que 100.003-100.001=2.

Matemáticamente, ambas son igual de ciertas, sí, pero... ¿qué ocurre si hay una desviación del 0,1% en uno de los operadores? La primera expresión se convierte en 3,003-1=2,003, que es básicamente lo mismo; pero la segunda expresión se convierte en 100.103,003-100.001=102,003...y es innegable que de 2 a 102,003 hay mucha diferencia!!

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Dígitos significativos
Es el concepto que se ha desarrollado formalmente para designar la confiabilidad de un valor numérico. Los dígitos significativos de un número, son aquellos que pueden ser empleados en forma confiable para describir una cantidad. Por ejemplo, suponga que se tiene un instrumento cuyo medidor marca:

Para...