ERROR EN ESTADO ESTACIONARIO

Error de Estado Estacionario (Estable)
Cálculo de errores de estado estacionario
Tipo de sistema y error de estado estacionario
Ejemplo: Encontrar los requerimientos de error de estado estacionario
El error de estado estacionario se define como la diferencia entre la entrada y la salida de un sistema en el límite cuando el tiempo tiende a infinito (e.d. cuando la respuesta ha alcanzado elestado estacionario). El error de estado estacionario dependerá del tipo de entrada (escalón, rampa, etc.) y de (tipo del sistema) que el sistema sea del tipo 0, I, II,...
Nota: el análisis del error de estado estacionario sólo es útil para sistemas estables. Es responsabilidad suya verificar que el sistema sea estable antes de desarrollar un análisis del error de estado estacionario. Muchas delas técnicas que se presentan devolverán una respuesta aún cuando el sistema es inestable; obviamente esta respuesta carece de sentido para un sistema inestable.
Cálculo de errores de estado estacionario
Antes de exponer acerca de las relaciones entre error de estado estacionario y tipo del sistema, se mostrará cómo calcular el error sin importar el tipo del sistema o la entrada empleada.Entonces, derivaremos las fórmulas a aplicar en el análisis de error de estado estacionario. El error de estado estacionario puede calcularse de la función de transferencia a lazo cerrado o abierto para sistemas con realimentación unitaria. Por ejemplo, digamos que tenemos el siguiente sistema:

el cual es equivalente al siguiente sistema:

Podemos calcular el error de estado estacionario paraeste sistema ya sea de la función de transferencia a lazo cerrado o abierto mediante el teorema del valor final (recuerde que este teorema solo puede aplicarse si el denominador no tiene polos en el semiplano derecho):


Ahora, introduzcamos las transformadas de Laplace de las diferentes entradas para hallar las ecuaciones que nos permitan calcular los errores de estado estacionario a partirde las funciones de transferencia a lazo abierto frente a diferentes entradas:
• Entrada Escalón (R(s) = 1/s):

• Entrada Rampa (R(s) = 1/s^2):

• Entrada Parabólica (R(s) = 1/s^3):

Cuando se diseña un controlador, normalmente se quiere compensar el sistema frente a perturbaciones. Digamos que tenemos el siguiente sistema con una perturbación:

Podemos encontrar el error deestado estacionario para una entrada perturbación de un escalón con la siguiente ecuación:

Finalmente, podemos calcular el error de estado estacionario para sistemas con realimentación no unitaria:


Manipulando los bloques, podemos modelar el sistema como sigue:

Ahora, simplemente aplique las ecuaciones que mencionáramos arriba.
Tipo del sistema y error de estado estacionario
Si serefiere de nuevo a las ecuaciones para el cálculo de errores de estado estacionario para sistemas con realimentación unitaria, hallará que tenemos definidas ciertas constantes ( conocidas como las constantes estáticas de error). Estas constantes son la constante de posición (Kp), la constante de velocidad (Kv), y la constante de aceleración (Ka). Sabiendo el valor de estas constantes además deltipo del sistema, podemos predecir si el sistema va a tener un error de estado estacionario finito.
Primero, hablemos de el tipo sistema. el tipo del sistema se define como la cantidad de integradores puros en un sistema. Esto es, el tipo del sistema es igual a el valor de n cuando el sistema se representa de la siguiente forma:

Por lo tanto, un sistema puede ser de tipo 0, de tipo 1, etc.Ahora, observemos cómo se relaciona un error de estado estacionario con el tipo de los sistemas:

sistemas de tipo 0
Entrada Escalón Entrada Rampa Entrada Parabólica
Formula de error de estado estacionario 1/(1+Kp) 1/Kv 1/Ka
Constante Estática del Error Kp = constante Kv = 0 Ka = 0
Error 1/(1+Kp) infinito infinito

sistemas de tipo 1
Entrada Escalón Entrada Rampa Entrada Parabólica...