Errores

ERRORES
Indice
1. Errores 2. Clases de errores 3. N´ meros en coma flotante u 4. Aritm´tica del punto flotante e 4.1. Errores 4.2. Operaciones en punto flotante 4.3. Problemas con operaciones en punto flotante 5. Algoritmos o m´todos num´ricos e e 5.1. Convergencia y velocidad de convergencia 5.2. Estabilidad num´rica e 5.3. Coste operativo y eficiencia 6. Conclusiones

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Errores

Definici´n1.1. Si p∗ es una aproximaci´n de p, el error absoluto es ∆p = |p − p∗ | , y o o |p−p∗ | el error relativo es p = |p| , siempre que p = 0. Normalmente no se conoce p y, por tanto, tampoco se conocer´ con exactitud el a ∗ error absoluto (ni el relativo) de tomar p como una aproximaci´n de p. Por tanto, se o pretende encontrar cotas superiores de esos errores. Cuanto m´s peque˜as sean esas a n cotassuperiores, mejor ser´ la aproximaci´n. a o Definici´n 1.2. Se dice que el n´mero p∗ aproxima a p = 0 con t d´ o u ıgitos (o cifras) ∗ significativos (exactos), si t es el mayor entero no negativo para el cual |p−p | < 5 · 10−t |p| o sea, 5 · 10−t es una cota superior del error relativo.

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Ejemplo 1.3. Cota superior de |p − p∗ | para distintos valores de p tomando cuatro d´ ıgitossignificativos para p∗ : 0.1 0.5 100 1000 p max|p − p∗ | 0.00005 0.00025 0.05 0.5 As´ para p = 0.1 se tiene: ı |0.1 − p∗ | < 5 · 10−4 |0.1|

luego, max|p − p∗ | < 0.1 · 5 · 10−4 y as´ 0.1 − 0.00005 < p∗ < 0.1 + 0.00005, o sea: ı, 0.09995 < p∗ < 0.10005. Y para p = 1000, se tiene 999.5 < p∗ < 1000.5.

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Clases de errores

A) Errores en las entradas. Propagaci´n. o Los errores en las entradas o datosiniciales suelen ser consecuencia del hecho de que nuestros datos provienen de un experimento y son inherentes a la imperfecci´n de las o medidas f´ ısicas; o bien, se producen al tomar (de forma voluntaria) un n´mero limitado u de d´ ıgitos para los datos de entrada. A la hora de valorar el resultado obtenido en cualquier m´todo num´rico es impore e tante conocer la magnitud de dichos errores y c´mose propagan. o Propagaci´n del error o Sea f : D ⊂ Rn → Rn la funci´n que nos define el c´lculo a realizar, donde f viene o a dada por yi = fi (x1 , x2 , ..., xn ), para i = 1, . . . , m. Supongamos que f es de clase C 1 (D). Sea ∆x = |x − x∗ |, de forma que ∆xi = |xi − x∗ |. Si reemplazamos los datos de entrada i x por los datos aproximados x∗ , el resultado de nuestro c´lculo ser´ y ∗ = f (x∗ ),en lugar a a de y = f (x). Aplicando Taylor, se tiene:
n

|yi −

∗ yi |

= |fi (x) − fi (x )| ≈
j=1

∗

|xj − x∗ | · j

∂fi (x) . ∂xj

As´ una forma de aproximar el efecto que tienen los datos de entrada en la salida (en ı, t´rminos de errores absolutos) es: e
n

∆yi ≈
j=1

∂fi (x) · ∆xj . ∂xj

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Y, en terminos de errores relativos:
yi x

∆yi = ≈ yi

n

j=1xj ∂fi (x) · fi (x) ∂xj

xj

j Al valor de fi (x) ∂fi (x) se le llama n´mero de condici´n. u o ∂xj Si aparece alg´n n´mero de condici´n grande, decimos que estamos ante un pro bleu u o ma mal condicionado, en otro caso hablamos de un problema bien condicionado.

B) Errores de truncamiento o discretizaci´n o Los errores de truncamiento o discretizaci´n provienen, por ejemplo, de la sustituci´no o de una expresi´n continua por otra discreta (por ejemplo al aproximar la derivada de f o por una expresi´n en diferencias), o f (x0 ) ≈ Usando el desarrollo de Taylor de f : f (x0 + h) = f (x0 ) + f (x0 )h + De donde, f (x0 + h) − f (x0 ) 1 1 = f (x0 ) + f (x0 )h + f (x0 )h2 + · · · h 2! 3! As´ el error cometido es ı f (x0 + h) − f (x0 ) 1 1 − f (x0 ) = f (x0 )h + f (x0 )h2 + · · · = O(h) h2! 3! Otro caso donde aparecen errores de truncamiento es al aproximar un proceso infinito por uno finito (por ejemplo, truncando los t´rminos de una serie). Sea (an ) una sucesi´n e o de t´rminos no negativos, mon´tona decreciente y con limn→∞ an = 0, por el criterio de e o Leibnitz, sabemos que si
+∞ k

f (x0 + h) − f (x0 ) h 1 1 f (x0 )h2 + f (x0 )h3 + · · · 2! 3!

S=
n=1

(−1) an

n...