Ertert

1. Definicion de derivadas.
La derivada es la pendiente de la recta tangente del grafico en el punto X.
Es la pendiente de la recta tangente a una curva en un punto cualquiera

2.Funcion derivada.
La derivada es el resultado de un límite y representa la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en un punto.
La definición de derivada es lasiguiente:




3. Teoremas.
El teorema de Rolle dice que:
Si f es una función continua en [a, b] y derivable en (a, b), tal que f(a) = f(b), hay algún punto c (a, b) en el que f'(c) =0.






La interpretación gráfica del teorema de Rolle nos dice que hay un punto en el que la tangente es paralela al eje de abscisas.
Ejemplo:
Estudiar si la función f(x) =x − x3 satisface las condiciones del teorema de Rolle en los intervalos [−1, 0] y [0, 1]. en caso afirmativo determinar los valores de c.
f(x) es una función continua en los intervalos [−1, 0]y [0, 1] y derivable en los intervalos abiertos (−1, 0) y (0, 1) por ser una función polinómica.
Además se cumple que:
f(−1) = f(0) = f(1) = 0
Por tanto es aplicable elteorema de Rolle.





El teorema de Lagrange dice que:
El teorema del valor medio o de Lagrange dice que:
Sea f es una función continua en [a, b] y derivable en (a, b), existe un punto c(a, b) tal que:
[pic]
[pic]

La interpretación geométrica del teorema del valor medio nos dice que hay un punto en el que la tangente es paralela a la secante.

El teorema de Rolle es un casoparticular del teorema del valor medio, en el que f(a) = f(b).
Ejemplo
¿Se puede aplicar el teorema de Lagrange a f(x) = 4x2 − 5x + 1 en [0, 2]?
f(x) es continua en [0, 2] y derivable en (−1, 2) portanto se puede aplicar el teorema del valor medio:
[pic]
[pic]

El teorema de Cauchy dice que:
El teorema de Cauchy o teorema del valor medio generalizado dice que:
Si f y g son...