escolares

Mett ®
Razones Trigonom´tricas en el Tri´ngulo Rect´ngulo
e
a
a

2.7.

9

Ejercicios resueltos

1. Si 3 tg α = sec α con 0 ≤ α < π . Hallar los valores de: cotg α, cos α, cotg( π − α) y
2
2
el valor de la expresi´n (tg α + sec α)2 − 2
o
Soluci´n.
o
sen α
1
1
∀ α ∈ [0, π ], 3tg α = sec α ⇔ 3
=
⇔ sen α = . Note que cos α = 0 si
2
cos α
cos α
3
1
sen α =
3
De lafigura:
√
cotg α = 8,

3

1

cotg

√

8
3

cos α =

π
1
− α = tg α = √
2
8

a
8

1
3
√ +√
8
8

2

(tg α + sec α) − 2 =

2

−2=

4
√
8

2

−2=0

2. Si p cos α = q sen α, p ∧ q > 0, 0 < α < 90◦ , calcule el valor de: p2 sen2 α − q 2 cos2 α
Soluci´n.
o
sen α
p
p cos α = q sen α ⇔
= pues p y q son positivos y 0 < α < 90◦ , luego de
cos α
q
p
aqu´ quetg α = ,
ı
q
sen α =
p2+ q2
p

p
p2

+

q2

,

cos α =

p2 sen2 α − q 2 cos2 α = p2

a
q

=

q
p2

+ q2

,entonces

p2
q2
− q2 2
p2 + q 2
p + q2

p4 − q 4
(p2 − q 2 )(p2 + q 2 )
=
= p2 − q 2
p2 + q 2
p2 + q 2

3. En un tri´ngulo ABC, si la hipotenusa mide BC = 140m y β = 70◦ . Se prolonga BC
a
hasta D y el ´ngulo ADB = 10◦ . H´llese CD y laperpendicular desde A al lado BC.
a
a

Soluci´n.
o

Trigonometr´ y geometr´ anal´
ıa
ıa
ıtica

Luis Zegarra A.

Mett ®
Razones Trigonom´tricas en el Tri´ngulo Rect´ngulo
e
a
a

10

Se pide EA y CD
D
10°

C

De la figura se tiene
BA = 140 cos 70◦ = 47,88m
BE = BA cos 70◦ ⇒ BE = 47,88 cos 70◦ = 16,38m

40 E

1

EC = 140 − 16,38 = 123,62m
70°

EA = BA sen 70◦ = 47,88 sen70◦ = 44,99m.

A

B

por otra parte tg 10◦ =

EA
EC + CD

CD =

EA
44,99
− EC ⇒ CD =
− 123,62
◦
tg 10
tg 10◦

CD = 131,53m.
4. Desde la c´spide de un faro, de 90m de altura, se observan dos botes situados al
u
oeste del faro seg´n ´ngulos de depresi´n de 60◦ y 45◦ . Calcular la distancia que
u a
o
separa a los botes.

Soluci´n.
o
Sean A y B las posiciones de losbotes, queremos determinar x.
60° 45°

90
90
⇒y=
y
tg 60◦
90
⇒ x + y = 90 ⇒
tg 45◦ =
x+y
90
= 90(1 − cotg 60◦ ) = 38,03m
x = 90 −
◦
tg 60
tg 60◦ =

90

45°

60°
y

A

x

B

5. Dos poleas est´n separadas a una distancia l, desde sus ejes. ¿Cu´l es la longitud de
a
a
una correa inextensible te´rica que debe transmitir el movimiento de una a la otra
o
3
1
l y l?
enel mismo sentido, si los radios de las poleas son
10
5
Soluci´n.
o

Trigonometr´ y geometr´ anal´
ıa
ıa
ıtica

Luis Zegarra A.

Mett ®
Razones Trigonom´tricas en el Tri´ngulo Rect´ngulo
e
a
a

sen α =

11

1
( 3 − 10 ) l
1
π
π
5
= ⇔α= ⇔θ=
l
2
6
3

l

La longitud L de la correa esta dada por

A
´
A

a

q

L = AA + BB + AB + B A

q

√
π
3
Porsimetr´ AA = BB = l cos =
ıa,
l
6
2

r

R

B´
B

B A = 2θ

1
π 1
π
l=2 ·
l=
10
3 10
15

3
3
π 3
4
l − BA = 2π l − 2 · l = π l
5
5
3 5
5
√
√
13
3
π
4
luego L = 2 ·
l+
l+ πl = ( 3+
π) l
2
15
5
15
AB = 2π

6. Si a cos2 α + b sen2 α = c demostrar que
tg 2 α =

c−a
b−c

Demostraci´n.
o

Como sen2 α + cos2 α = 1 ⇒
a cos2 α + b sen2 α = c(sen2 α +cos2 α)
(b − c)sen2 α = (c − a) cos2 α
sen2 α
c−a
=
2α
cos
b−c
c−a
tg 2 α =
b−c
7. El seno de un ´ngulo es a su tangente como 3 : 5. Hallar el seno y la cotangente del
a
´ngulo
a
Soluci´n.
o

Trigonometr´ y geometr´ anal´
ıa
ıa
ıtica

Luis Zegarra A.

Mett ®
Razones Trigonom´tricas en el Tri´ngulo Rect´ngulo
e
a
a
Sea α el ´ngulo en cuesti´n, as´
a
o
ı

12sen α
3
3
= ⇔ cos α = ⇒
tg α
5
5

4
5
3
cotg α =
4
sen α =

5
4

a
3

a
ıo
8. Un hombre est´ de pie en un punto A de la ribera de un r´ de orillas paralelas
y observa que la recta que une A con un punto B de la ribera opuesta forma un
´ngulo de 30◦ con la orilla en la que ´l se encuentra.El hombre camina por la orilla
a
e
hacia un punto D, que se encuentra al frente...