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3.8 DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD EXPONENCIAL
A pesar de la sencillez analítica de sus funciones de definición, la distribución exponencial tiene una gran utilidad práctica ya que podemos considerarla como un modelo adecuado para la distribución de probabilidad del tiempo de espera entre dos hechos que sigan un proceso de Poisson. De hecho la distribución exponencial puede derivarse de unproceso experimental de Poisson con las mismas características que las que enunciábamos al estudiar la distribución de Poisson, pero tomando como variable aleatoria , en este caso, el tiempo que tarda en producirse un hecho
Obviamente, entonces , la variable aleatoria será continua. Por otro lado existe una relación entre el parámetro a de la distribución exponencial , que más tarde aparecerá , y elparámetro de intensidad del proceso l , esta relación es a = l
Al ser un modelo adecuado para estas situaciones tiene una gran utilidad en los siguientes casos:
· Distribución del tiempo de espera entre sucesos de un proceso de Poisson
· Distribución del tiempo que transcurre hasta que se produce un fallo, si se cumple la condición que la probabilidad de producirse un fallo en un instante nodepende del tiempo transcurrido .Aplicaciones en fiabilidad y teoría de la supervivencia.
Función de densidad.
     A pesar de lo dicho sobre que la distribución exponencial puede derivarse de un proceso de Poisson, vamos a definirla a partir de la especificación de su función.
De densidad:
  Dada una variable aleatoria X que tome valores reales no negativos {x ³ 0} diremos que tiene unadistribución exponencial de parámetro a con a ³ 0, si y sólo si su función de densidad tiene la expresión: 
                                                                        
Diremos entonces que 
 
 
Gráficamente como ejemplo planteamos el modelo con parámetro a =0,05
  En consecuencia, la función de distribución será:

     En la principal aplicación de esta distribución , que es la Teoríade la Fiabilidad, resulta más interesante que la función de distribución la llamada Función de Supervivencia o Función de Fiabilidad.
            La función de Supervivencia se define cómo la probabilidad de que la variable aleatoria tome valores superiores al valor dado X:

         Si el significado de la variable aleatoria es "el tiempo que transcurre hasta que se produce el fallo": lafunción de distribución será la probabilidad de que el fallo ocurra antes o en el instante X: y , en consecuencia la función de supervivencia será la probabilidad de que el fallo ocurra después de transcurrido el tiempo X ; por lo tanto, será la probabilidad de que el elemento, la pieza o el ser considerado "Sobreviva" al tiempo X ; de ahí el nombre.
Gráficamente, la función de distribución para unmodelo exponencial de parámetro a =0,05 sería :
 
 
 
En la que se observa lo que sería la diferencia entre función de distribución y la de supervivencia
 
 
 
 
               
 
La Función Generatriz de Momentos será:


tendremos así que la F.G.M será :

     Una vez calculada la F.G.M podemos , partiendo de ella , calcular la media y la varianza
Así la media será:

En cuando ala varianza su expresión será :

Ya que

        La mediana del modelo exponencial será aquel valor de la variable x =Me que verifica que F (Me) = ½
De manera que  por lo que 
 
Tasa instantánea de fallo.
  Dentro del marco de la teoría de la fiabilidad si un elemento tiene una distribución del tiempo para un fallo con una función de densidad f(x) , siendo x la variable tiempo para que seproduzca un fallo , y con una función de supervivencia S(X) La probabilidad de que un superviviente en el instante t falle en un instante posterior t + D t será una probabilidad condicionada que vendrá dada por:

Al cociente entre esta probabilidad condicionada y la amplitud del intervalo considerado, t , se le llama tasa media de fallo en el intervalo [t , t+D t] :

Y a la tasa media de...