Esfuerzo en la masa del suelo

¿CÓMO SE GENERAN LOS ESFUERZOS POR UNA CARGA CONCENTRADA APLICADA A UNA CIERTA?
Esta pregunta no es mas que el problema de Boussinesq, así que en este trabajo lo trataremos así.
Desde el punto de vista de la Teoría de la Elasticidad, el problema de Boussinesq es un caso particular del problema de Mindlin, en el cual se supone la existencia de un sólido que ocupa la región del espacio z > 0, encuyo interior obra una carga concentrada P, aplicada en el punto z = c, r = 0 como se puede ver en la siguiente ilustración.

Se trata de calcular el estado de esfuerzos en un punto cualquiera A de la masa. El problema de Boussinesq es una particularización del anterior, resultado de hacer c = 0, con lo que la carga concentrada queda aplicada en la frontera del medio semiinfinito, homogéneo,isótropo y linealmente elástico. La solución del problema puede lograrse por varios caminos, dependiendo de la herramienta matemática utilizada. El tratamiento que aquí se presenta está basado fundamentalmente en la ref. 1 1.
La carga concentrada produce en el medio un estado de esfuerzos y desplazamientos que evidentemente es simétrico respecto al eje de aplicación de la carga.
Las ecuacionesde Navier o de la deformación, que expresan las condiciones de equilibrio en función de las componentes del vector desplazamiento , son
En donde es el modulo de Poisson, G el modulo de rigidez
las fuerzas de masas y el sistema coordenado ortogonal de referencia.
Multiplicando la ecs. 1 por los versores respectivamente y sumando,
...............2
Ecuación que ha sido llamada fundamentalmentede la teoría de la Elasticidad.
Si se aplica a la ec. 2 el operador div:
.............3
Pero:
y
Donde es la deformación volumétrica o 1er invariante del tensor deformación.
Substituyendo la anterior en la ec. 3 y simplificando
...........4
Se supondrá ahora la existencia de una función , potencial de fuerza, armónica. En tal caso
y
por lo tanto de la ec. 4 se sigue que si existeSi se aplica, bajo la hipótesis anterior, a la ec. 2 el operador escalar , se puede escribir
lo cual da
pero por lo tanto
pero esto es
de donde si existe
..........5
La ec. 5 se cumplirá si y solo si existe la mencionada función potencial .
Ahora bien, la ec 5 puede ponerse
por lo que se tendrá que verificar
.........6
De manera que si existe la función deben cumplirse las ecs.biarmonicas 6.
Se trata ahora de verificar si la siguiente ecuación que se propone como solución del problema verifica la ec. la ec. 2.
.......7
donde
c=constante
es el llamado vector de Galerkin.
La ec. 2 puede escribirse
.........8
Teniendo en cuenta las ecs. 7 y 8 puede ponerse
..........9
operando
La constante c puede escogerse de modo que la ecuación anterior se reduzca a
para locual será preciso
..........10
y entonces
...........11
Si las fuerzas son nulas, se tendrá:
y en tal caso el vector de Galerkin tendrá que ser una función vectorial biarmonica.
Por lo tanto el vector de desplazamiento satisface la ec. 2 cuando
.....13
con la condición de que se cumpla la ec. 11.
La ecuación 13 en forma desplegada da lugar a
....14
En las ecs. 14 habrá la condiciónLas ecs. 14 proporcionan las componentes del vector de desplazamiento en términos del vector las que pueden relacionarse, según la Teoría de la Elasticidad, con las deformaciones unitarias correspondientes; estas a su vez, haciendo uso de la Ley de Hooke generalizada para un medio homogéneo, isótropo y linealmente elástico, pueden relacionarse con los esfuerzos producidos en un punto del medio. Asíen definitiva, podrá llegarse a expresiones entre los esfuerzos y las componentes del vector . El proceso matemático anterior es simple, aunque muy laborioso aquí únicamente se pondrán los resultados obtenidos.
....16
El triedo (x,y,z) corresponde al usado anteriormente.
En el caso particular del problema de Boussinesq puede llegarse a la solución, adoptando un vector de Galerkin de la forma...