esfuerzos internos en solidos

Esfuerzos internos

Jorge Bustinza Esparta | Dr. Arquitecto | FUNDAMENTOS FISICOS DE LA ARQUITECTURA II
1

ESFUERZOS INTERNOS
Problema 1
Dada la estructura isostática de la figura. Hallar los esfuerzos internos en los puntos indicados 1,2,3,4.

Solución
a. Dividimos la estructura en subsistemas rígidos e indicamos las fuerzas pasivas externas (reacciones) y las internas
(en vínculosinternos).

Incógnitas= 4 externas + 3 internas = 7
Ecuaciones = 7 = 3 (1º S.R.) + 3 (2º S.R.) + 1 (rótula)
Cumplimos la condición necesaria de sistema isostático.
b. Planteamos las ecuaciones:
1º subsistema:
ΣFx = 0 ⇒ A x + E x = 0
ΣFy = 0 ⇒ A y + E y1 = 50
ΣM D = 0 ⇒ 3A x + M A + 4E y1 = 50 x1,5

2º subsistema:
ΣFx = 0 ⇒ E x = 0
ΣFy = 0 ⇒ B y + E y 2 = 30
ΣM E = 0 ⇒ 3 B y + 40 = 30x1,5

Rotula:
ΣFy = 0 ⇒ E y1 + E y 2 + 20 = 0
Resolvemos el sistema:
SR2: ΣFx = 0 ⇒ E x = 0

5
= 1,67kN
3
= 28,33kN

SR2: ΣM E = 0 ⇒ 3 B y + 40 = 30x1,5 ⇒ B y =

SR2: ΣFy = 0 ⇒ B y + E y 2 = 30 ⇒ E y 2

UNIVERSIDAD SAN PABLO CEU | ESCUELA POLITÉCNICA SUPERIOR |Jorge Bustinza Esparta | Dr. Arquitecto
2

Rotula: ΣFy = 0 ⇒ E y1 + E y 2 + 20 = 0 ⇒ E y1 = −48,33kN
SR1: ΣFx = 0 ⇒ A x+ E x = 0 ⇒ A x = 0
SR1: ΣFy = 0 ⇒ A y + E y1 = 50 ⇒ A y = 98,33kN
SR1: ΣM D = 0 ⇒ 3A x + M A + 4E y1 = 50 x1,5 ⇒ M A = 268,33kNm

Por tanto las fuerzas que equilibran el sistema serán:

c. Hallemos los esfuerzos internos:

c.1. Punto 1:
ΣFx = 0 ⇒ V = 0
ΣFy = 0 ⇒ N = −98,33kN

ΣM 1 = 0 ⇒ M = −268,33kN

c.2 Punto 2:
ΣFx = 0 ⇒ N = 0
ΣFy = 0 ⇒ V = 48,33 + 10 * 2 = 68,33kN
ΣM 2 = 0 ⇒M = −48,33x 2 − (10 x 2) x1 = −116,66kN

c.3 Punto 3:
ΣFx = 0 ⇒ N = 0
ΣFy = 0 ⇒ V = 28,33 − 10 * 2 = 8,33kN
ΣM 3 = 0 ⇒ M = 28,33x 2 − (10 x 2) x1 = 36,66kNm

c.4 Punto 4:
ΣFx = 0 ⇒ V = 0
ΣFy = 0 ⇒ N = −1,67kNkN
ΣM 4 = 0 ⇒ M = 40kNm

División de Arquitectura

Esfuerzos internos

Jorge Bustinza Esparta | Dr. Arquitecto | FUNDAMENTOS FISICOS DE LA ARQUITECTURA II
3

Problema 2Sea un pilar de altura h=4m y de forma troncopiramidal. En parte superior su sección es de 20x20 cm. En su parte
inferior de 40x40cm. La densidad de este pilar es variable, siendo ρ = 2000 kg/m3 en la parte superior y ρ =2500 kg/m3
en parte inferior. Suponemos que la variación de la densidad se produce de forma lineal.
a. Hallar la carga distribuida axial q(x).
b. Hallar el esfuerzo axialSolución
a. Sabemos que la carga distribuida en axial es el peso de una sección:
q ( x ) = A( x ) γ ( x ) En nuestro caso ambas funciones (área y peso específico dependen de x)

Ecuación de la recta que nos define el semilado “d” del cuadrado del área: d ( x ) =
1
1 2
x + 20) 2 =
x + 2 x + 400 = (cm 2 )
20
400
kp
5
1
Ecuación del peso específico (en kg/cm3): γ = ( x + 2000) 6 ( 3 )
410 cm

Ecuación del área A(x): A( x ) = (

kp
1 2
5
1
x + 2 x + 400) ( x + 2000) 6 ( )
400
4
cm
10
kp
1
1 3 15 2
x + x + 4500 x + 800000) 6 ( )
q ( x ) = −(
cm
2
320
10
El valor negativo del signo indica que es una compresión.

Por tanto: q ( x ) = A( x ) γ ( x ) = (

b. Hallemos el axial por el método de integración:

1
x + 10 (cm)
40

UNIVERSIDAD SAN PABLO CEU |ESCUELA POLITÉCNICA SUPERIOR |Jorge Bustinza Esparta | Dr. Arquitecto
4

x =L

ΣFx = 0 ⇒ R A =

x = 400

∫ q(x)dx = ∫

x =0

x =0

(

División de Arquitectura

1 3 15 2
1
x + x + 4500 x + 800000) 6 dx = 860 kp
320
2
10

1 3 15 2
1
N´(x ) = −q ( x ) = (
x + x + 4500 x + 800000) 6 ⇒
320
2
10
1
5
1
N (x ) = (
x 4 + x 3 + 2250 x 2 + 800000 x + c )
1280
2
10 6Sabemos que en x=0: N(0) =-860 kp
1
5
1
N(0) = −860; N(0) = (
0 4 + 0 3 + 22500 2 + 8000000 + c) 6 ⇒ c = −860 10 6
1280
2
10
N( x ) = (

5
1
1
x 4 + x 3 + 2250 x 2 + 800000x − 860 10 6 ) 6
1280
2
10

c. Hallemos el axial por el método de los cortes:

x

∫

ΣFx = 0 ⇒ N( x ) = ( (
0

N( x ) = (

1 3 15 2
1
x + x + 4500x + 800000) 6 dx ) − 860 kp
320
2
10

5
1...