Esfuerzos principales

ESFUERZOS PRINCIPALES
Siempre es importante obtener los valores máximos de los esfuerzos tanto los normales como los de corte para compararlos con los valores admisibles del material que se está evaluando.
El esfuerzo normal máximo se deduce derivando σx' con respecto al ángulo ð :
dσx' /dð = 0 = - ( σx - σy ) (sen 2ð) + 2 ðxy (cos 2ð)
tan 2ð = 2 ðxy / ( σx - σy )
La solución de estaecuación son dos ángulos que valen : ð y ð + 90
Al evaluar usando estos valores para el ángulo ð se obtienen los esfuerzos normales máximo ( σ1) y mínimo (σ2). Es importante destacar que si se iguala ðx'y' = 0 se obtiene la misma expresión que la derivada, esto implica que cuando el elemento se rota para encontrar los esfuerzos principales (σ1 y σ2) se produce que el esfuerzo cortante vale cero.
Endefinitiva :
σ1 , σ2 = ( σx + σy ) / 2 + / -
El esfuerzo cortante máximo se obtiene de forma similar, derivando la expresión correspondiente con respecto al ángulo ð.
dtx'y' / dð = 0 = -2 ðxy (sen 2ð) - ( σx - σy ) (cos 2ð)
tan 2ð = - ( σx - σy ) / 2 ðxy
Esta expresión nos entrega el ángulo para el cual se producen los esfuerzos cortantes máximos, queda en definitiva :
ð1 y ð2 = + / -ESFUERZOS CORTANTES MÁXIMOS
El esfuerzo cortante máximo difiere del esfuerzo cortante mínimo solo en signo, como muestran las formulas explicadas el tema Esfuerzo s Principales. Además, puesto que las dos raíces de la ecuación tan 2ð = - ( σx - σy ) / 2 ðxy
sitúan el plano a 90°, este resultado significa también que son iguales los valores numéricos de los esfuerzos cortantes en planos mutuamenteperpendiculares.
En esta deducción, la diferencia de signo de los dos esfuerzos cortantes surgen de la convención para localizar los planos en que actúan estos esfuerzos. Desde el punto de vista físico dichos signos carecen de significado, por esta razón al mayor esfuerzo cortante, independientemente de su signo, se llama esfuerzo cortante máximo.
El sentido definido del esfuerzo cortante siemprese puede determinar por la sustitución directa de la raíz particular de ð en la ecuación
ðx'y' = ðxy (cos 2ð) - ( σx - σy )/2 (sen 2ð)
un esfuerzo cortante positivo indica que este actúa en el sentido supuesto y viceversa. La determinación del esfuerzo cortante máximo es de mayor importancia para materiales de baja resistencia al corte.
A diferencia de los esfuerzos principales cuyos planosno ocurren esfuerzos cortantes, los esfuerzos cortantes máximos actúan en planos que usualmente no están libres de esfuerzos normales. La situación de ð de la ecuación
tan 2ð = - ( σx - σy ) / 2 ðxy
en la
σx' = ( σx + σy )/2 + ( σx - σy )/2 (cos 2ð) + ðxy (sen 2ð)
muestra que los esfuerzos normales que actúan en los planos de los esfuerzos cortantes máximos son
σ* =( σx + σy )/2
porconsiguiente, el esfuerzo normal actúa simultáneamente con el esfuerzo cortante máximo a menos que se anule σx + σy.
Si σx y σy de la ecuación ð1 y ð2 = + / -
son esfuerzos principales, ðxy es cero y la ecuación se simplifica en
ðmax =( σx - σy )/2
CIRCULO DE MOHR PARA ESFUERZO.
Las ecuaciones desarrolladas en los puntos anteriores pueden rescribirse para formar una ecuación de circunferencia :Se tiene que :
σx' = ( σx + σy )/2 + (( σx - σy )/2 (cos 2ð)) + ðxy (sen 2ð)
ðx'y' = ðxy (cos 2ð) - (( σx - σy )/2 ) (sen 2ð)
La primera ecuación se acomoda de la siguiente forma :
σx' - ( σx + σy )/2 = (( σx - σy )/2 (cos 2ð)) + ðxy (sen 2ð)
Elevando al cuadrado se tiene :
(σx' - (σx + σy)/2)2 =(σx - σy)2/4 (cos 2ð)2 + (σx - σy) (cos 2ð) ðxy (sen 2ð) + ðxy2 (sen 2ð)2
Elevando al cuadradola segunda ecuación se tiene :
ðx'y'2 = ðxy2 (cos 2ð)2 - ðxy (cos 2ð) (σx - σy) (sen 2ð) + (σx - σy)2/4 (sen 2ð)2
Sumando ambas expresiones :
(σx' - ( σx + σy )/2)2 + ðx'y'2 = ðxy2 + (( σx - σy )2/2)2
Los esfuerzos originales son datos, y por lo tanto constantes del problema, se tiene entonces :
ðxy2 + (( σx - σy )2/2)2 = b2
( σx + σy )/2 = a
Rescribiendo queda :
(σx' - a)2 + ðx'y'2 =...