Esp Vec

´
Algebra
Lineal

UCR

Sexto tema, 2015

Presentaciones basadas principalmente en Arce,C, Castillo,W y
´
Gonz´alez, J. (2004) Algebra
lineal. Tercera edici´
on. UCR. San
Pedro. Otras fuentes ser´an mencionadas cuando corresponda. En
general el autor no clama que el contenido del documento sea
original, sino solamente su presentaci´
on. Se permite el uso de este
documento, siempre y cuando no seapor fines de lucro y se cite la
fuente.

TEMA
Espacios vectoriales

Definici´on
Un conjunto de objetos E se llama espacio vectorial real y sus
objetos se llaman vectores, si en este se han definido dos
operaciones: una suma de vectores (denotada por +) y un
producto de un n´
umero real por un vector, que satisfagan:
1. Si u ∈ E , v ∈ E entonces u + v ∈ E .
2. Si u ∈ E , c ∈ R entonces cu ∈ E .Adem´as, ∀u, v , w ∈ E y ∀a, b ∈ R:
3. u + v = v + u.
4. (u + v ) + w = u + (v + w ).
5. ∃0e ∈ E tal que u + 0e = u.
6. ∀u ∈ E , ∃ − u ∈ E tal que u + −u = 0e .
7. (a + b)u = au + bu.
8. a(u + v ) = au + av .
9. (ab)u = a(bu).
10. 1u = u.

Ejemplo
1. Rn .
2. M(m, n, R).
3. Polinomios reales. (R[x])
4. Polinomios de grado menor o igual a n. (Rn [x])
5. Funciones reales.

Definici´on
S es unsubespacio de un espacio vectorial E si S es un
subconjunto no vac´ıo de E y, con las mismas operaciones de suma
y multiplicaci´on por un escalar de E, es en s´ı mismo un espacio
vectorial.

Teorema
Sea E un espacio vectorial, y S ⊂ E un subconjunto. Si S satisface
las siguientes propiedades, entonces S es un subespacio de E.
0) S no es vac´ıo. (Debe contener a 0e ).
1) Si x ∈ S, y ∈ S, entonces x + y∈ S.
2) Si x ∈ S, α ∈ R, entonces αx ∈ S.

Ejemplo
1) Subconjunto: E ⊂ E , donde E es cualquier espacio vectorial.
Subespacio vectorial, S´I o NO: S´I.

Ejemplo
2) Subconjunto: {0e } ⊂ E , donde E es cualquier espacio vectorial.
Subespacio vectorial, S´I o NO: S´I.

Ejemplo
3) Subconjunto: Matrices invertibles de orden n.
Subespacio vectorial, S´I o NO: NO.

Ejemplo
4) Subconjunto: S = {x ∈ Rn/Ax = 0} ⊂ Rn , donde
A ∈ M(n, R).
Subespacio vectorial, S´I o NO: S´I.

Ejemplo
5) Subconjunto: S = {(t + s, s, −t)/t ∈ R, s ∈ R} ⊂ R3 .
Subespacio vectorial, S´I o NO: S´I.

Ejemplo
6) Subconjunto: S = {(t, 1)/t ∈ R} ⊂ R2 .
Subespacio vectorial, S´I o NO: NO.

Ejemplo
7) Subconjunto: Funciones reales f tales que f (0) = 0.
Subespacio vectorial, S´I o NO: S´I.

Ejemplo
8) Subconjunto:Funciones reales de la forma f (x) = sin(x) + a,
donde a ∈ R.
Subespacio vectorial, S´I o NO: NO.

Ejemplo
9) Subconjunto: S = {b ∈ Rn /b = Ax, para alg´
un x ∈ Rn }, donde
A ∈ M(n, R).
Subespacio vectorial, S´I o NO: S´I.

Ejemplo
10) Subconjunto: Matrices diagonales de orden n.
Subespacio vectorial, S´I o NO: S´I.

Ejemplo
11) Subconjunto: Matrices triangulares de orden n.
Subespacio vectorial, S´I oNO: NO.

Ejemplo
12) Subconjunto: S = {x ∈ Rn /Ax = b}, para b = 0.
Subespacio vectorial, S´I o NO: NO.

Ejemplo
13) Subconjunto: N´
umeros pares, como subconjunto de R.
Subespacio vectorial, S´I o NO: NO.

Ejemplo
14) Subconjunto: Funciones cuadr´aticas ax 2 + bx + c, donde b no
es negativo.
Subespacio vectorial, S´I o NO: NO.

Ejemplo
15) Subconjunto: Funciones c´
ubicas, o de grado menor,f donde
una soluci´on de f (x) = 0 es x = 0.
Subespacio vectorial, S´I o NO: S´ı.

Ejemplo
16) Subconjunto: Intersecci´
on entre los planos π1 : x+y+z=0, π2 :
x-y+2z=0.
Subespacio vectorial, S´I o NO: S´I.

Ejemplo
17) Subconjunto: S = {

a b
c d

/a, b, c, d ∈ R} ⊂ M(2, R),

tales que a + b = 1.
Subespacio vectorial, S´I o NO: NO.

Ejemplo
18) Subconjunto: S = {

a b
c d

tales que a + b = c +d.
Subespacio vectorial, S´I o NO: S´I.

/a, b, c, d ∈ R} ⊂ M(2, R),

Ejemplo
19) Subconjunto:
a b 0
S ={
/a, b, c, d ∈ R} ⊂ M(2, 3, R), tales que
c 0 d
a + b = c, d = 1 − b.
Subespacio vectorial, S´I o NO: NO.

Ejemplo
20) Subconjunto: Intersecci´
on entre los planos π1 : x+y+z=1, π2 :
x-y+2z=0.
Subespacio vectorial, S´I o NO: NO.

Ejercicio
Cualquier recta, plano e hiperplano que pase...