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Universidad Nacional de Colombia Sede Medellín Medellí
Módulo 4

Métodos de Análisis Multiobjetivo
I. Para Problemas continuos A. Generan un conjunto de soluciones eficientes o no dominadas •M. de las Restricciones •M. de las Ponderaciones

Métodos de Análisis Multiobjetivo para problemas continuos
Profesora: Patricia Jaramillo A.
1

B. Generan una sola Solución eficiente o no dominada•Promedios ponderados •Programación de compromiso •Programación por metas •Utilidad Multiatributo
4-2

Métodos de Análisis Multiobjetivo
II. Para Problemas Discretos •ELECTRE I,II, III y IV •PROMETHEE •AHP* Para problemas discretos también son útiles: •Promedios ponderantes •Programación de compromiso •Programación por metas •Utilidad Multiatributo
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I. Método de los Promedios PonderadosMét

El método obtiene la solución factible que maximice la suma ponderada de todos los objetivos Maximizar

⎡q ⎤ ⎢∑ wi Z ´i ( x)⎥ ⎣ i =1 ⎦

Sujeto a las restricciones originales Donde: Z´i(x) función objetivo i normalizada. wi: Peso de importancia relativa del objetivo i Tal que:

∑w
i =1

q

i

=1
4-4

Normalización de la Función Objetivo Zi(x)
Z ´i ( x) =
Donde: Zimax =Valor óptimo del objetivo i, optimizado independientemente → Valor ideal de i Zimin = Peor valor de la función objetivo i al evaluar las soluciones óptimas independientes de los otros objetivos
4-5

Maximización independientemente de cada objetivo i

Z i ( x) − Z i min Z i max − Z i min
Zimax = {Maximizar Zi(x) Sujeto a las restricciones originales }

Y xiopt es la solución de la optimizacióndel objetivo i

4-6

1

Se organiza una matriz de Pagos, así:
Z1(x) Con x1opt Con x2opt Z2 (x)

... ... ... ... ...

Zq (x)

Z1(x1) Z1(x2) ... Z1(xq)

Z2(x1) Z2(x2) ... Z2(xq)

Zq(x1) Zq(x2) ... Zq(xq)

Se determina para cada objetivo (cada columna de la anterior matriz de pagos) su mayor valor y su menor valor.
Zimax = Término de la diagonal en la posición (i,i) Zimin = Peorvalor de la columna i

...
Con xqopt

Donde xiopt es la solución de la optimización del objetivo i En la diagonal están los valores obtenidos en el paso anterior y en las otras posiciones el resultado de implementar la solución óptima del objetivo de la fila en las otras funciones objetivo
4-7

OJO: Si un objetivo es para minimizar, inicialmente se convierte a maximizar multiplicando sufunción por –1 y se aplica el mismo algoritmo
4-8

En el ejemplo de la papelera:
Objetivos Maximizar Z1= 1000x1 + 3000 x2 Minimizar Z2= 1x1 + 2 x2 (beneficio neto) (demanda de O )

Optimización independiente de cada objetivo
Beneficios netos Maximizar Z1= 1000x1 + 3000 x2 Sujeto a: x1 ≤ 300 x2 ≤ 200 x1 + x2 ≤ 400 1000x1 + 3000x2 ≥ 300000 x 1 , x2 ≥ 0 Sl/
4-9

Demanda de O Maximizar Z2=-1x1 - 2 x2 Sujeto a: x1 ≤ 300 x2 ≤ 200 x1 + x2 ≤ 400 1000x1 + 3000x2 ≥ 300000 x 1 , x2 ≥ 0 Sl/ x1=0 , x2=100 (ton) Z2max=-200
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= Maximizar -1x1 - 2 x2 Restricciones x1 ≤ 300 y x2 ≤ 200 (capacidad de producción) x1 + x2 ≤ 400 (empleo) 1000x1 + 3000x2 ≥ 300000 (margen bruto) x 1 , x2 ≥ 0

x1=200 , x2=200 (ton) Z1max=$800000

En el ejemplo, la Matriz de pagos es:
Z 1= 1000x1 + 3000 x2x1opt x2opt Z2= -1x1 - 2 x2

La formulación del método de los promedios ponderados suponiendo iguales pesos para los objetivos, w1=w2=0.5, es:
⎡ 1000x1 + 3000x 2 − 300000 (− x1 − 2x 2 ) − (−600) ⎤ + 0.5 Maximizar ⎢0.5 800000 − 300000 − 200 − (−600) ⎥ ⎣ ⎦
S.a: x1 ≤ 300 x2 ≤ 200 x1 + x2 ≤ 400 1000x1 + 3000x2 ≥ 300000 x 1 , x2 ≥ 0

800000 300000

-600 -200

Z1max= $800.000, Z2max= -200,Z1min=$300.000 Z2min=-600 Demanda de O.
4-11

Solución: x1= 0 ton. x2 =200 ton.

Z1= $600.000 Z2 = -400 DdeO
4-12

2

II. Programación de compromiso
Asume que las preferencias de un decisor pueden expresarse como una distancia Dp entre dos puntos: el ideal y el nivel alcanzado por una solución. El método obtiene la solución factible más cercana al punto ideal Minimizando Dp

Pero la...