Espacio afin

Juan Antonio González Mota

Profesor de Matemáticas

del Colegio Juan XIII Zaidín de Granada

ESPACIO AFÍN REAL TRIDIMENSIONAL

VECTORES FIJOS EN EL ESPACIO. Definimos un VECTOR ORIENTADO (FIJO) del espacio como una pareja ordenada de puntos (A,B) y lo representaremos por AB .

B
A recibe el nombre de ORIGEN del vector.

A
B recibe el nombre de EXTREMO del vector Si los dos extremoscoinciden se dice que el vector fijo es nulo: AA, BB, CC ,...... El conjunto de vectores fijos lo representaremos por F3 . Todo vector fijo queda determinado por: MÓDULO: es la longitud del segmento determinado por los dos puntos. Lo representaremos por . DIRECCION: es la línea que pasa por los dos puntos. Dos vectores tienen igual dirección si las rectas que los contienen son paralelas. SENTIDO:es el recorrido de la recta cuando nos trasladamos del origen al extremo del vector. Dos vectores tienen el mismo sentido cuando tienen la misma dirección y al unir los orígenes, los vectores quedan en el mismo semiplano. Los vectores nulos tienen todos módulo cero y admitiremos que tienen la misma dirección y sentido. VECTORES EQUIVALENTES O EQUIPOLENTES. Dos vectores fijos se dice que sonequivalentes o equipolentes cuando tienen el mismo módulo, la misma dirección y el mismo sentido. Si AB y CD son equivalentes, se escribe AB ≈ CD Geométricamente, si AB ≈ CD al unir los orígenes y los extremos entre sí, se forma un paralelogramo:

C

D

A

B

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del Colegio Juan XIII Zaidín de GranadaEsta relación de equivalencia permite clasificar el conjunto de vectores fijos en clases de equivalencia que contienen todos los vectores equivalentes entre sí. Cada una de estas clases en que está clasificado el conjunto F3 recibe el nombre de VECTOR LIBRE. En consecuencia, un vector libre es un conjunto de vectores fijos todos ellos equivalentes entre sí y se representa por u = AB , indicandoque AB es un representante de todos los vectores orientados de la clase. Todos los vectores fijos nulos forman el vector libre cero (nulo). Un representante es AA y se designa por 0 El conjunto de vectores libres lo representamos por V3 . MÓDULO, DIRECCIÓN Y SENTIDO DE UN VECTOR LIBRE. Todos los vectores fijos que pertenecen a una misma clase son equivalentes entre sí¡, es decir que todos tienenel mismo módulo, la misma dirección y el mismo sentido. Teniendo en cuenta esto, se llama módulo, dirección y sentido de un vector libre no nulo al módulo, dirección y sentido de uno cualquiera de los vectores de la clase. El vector libre 0 tiene por módulo 0 y carece de dirección y sentido. Los vectores AB y BA tienen el mismo módulo y la misma dirección, pero los sentidos son opuestos. PROPIEDADFUNDAMENTAL DE LOS VECTORES LIBRES. Los vectores fijos del espacio tienen su origen y extremo en puntos fijos del espacio. A diferencia de éstos, los vectores libres se pueden aplicar en cualquier punto que se desee, simplemente con elegir el representante de la clase adecuado. Esta propiedad podemos enunciarla de la siguiente forma: Si u = AB es un vector libre del espacio y O un puntocualquiera del espacio, existe un único representante de este vector que tiene su origen en el punto O.

[ ]

[ ]
B

u O u u u O'

u

A
O

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ESTRUCTURA DE V3. En el conjunto de vectores libres se definen las siguientes operaciones: 1. SUMA DE VECTORES LIBRES.Dados dos vectores libres u y v del espacio, se llama SUMA de u y v al vector libre que se obtiene de la siguiente forma: Se considera un punto arbitrario O del espacio y se toma un representante de u con origen en O, OA . A continuación, se toma AB como representante de v ; el vector suma es el que tiene por representante el vector OB , que resulta de unir el origen del primer vector con el...