Espacio afin

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Espacio afín

1. Rectas en el espacio
■ Piensa y calcula
Calcula las coordenadas de un vector que tenga la dirección de la recta que pasa por los puntos A(2, 1, 5) y B(3, –1, 4) Solución: 8 AB(1, – 2, – 1)

● Aplica la teoría
1. Halla las ecuaciones paramétricas de una recta determinada por el punto A(3, 2, – 1) y el vector v (1, – 4, 2) Solución: °x = 3 + t § ¢ y = 2 – 4t ; t é § z =– 1 + 2t £
8

Solución: A(1, –3, –2) ° x = 1 + 2t § ¢ y = – 3 + 4t ; t é §z = – 2 + t £

8

v (2, 4, 1)

5. Dada la recta siguiente:
r ~ (x, y, z) = (1, 0, –2) + t(2, 1, 3); t é escribe las ecuaciones implícitas de dicha recta. Solución: x–1 z+2 r~ =y= 2 3 x–1 = y ò x – 2y = 1 2 z+2 y= ò 3y – z = 2 3 °x – 2y =1 r~¢ 3y – z = 2 £

2. Halla la ecuación continua de una recta determinadapor los puntos A(1, 3, – 1) y B(2, 1, 3) Solución: 8 A (1, 3, – 1) y AB(1, –2, 4) x–3 z+1 x–1= = –2 4

3. Dada la recta siguiente:
°x + y = 3 r~¢ £y+z=2 encuentra un punto y un vector director de la recta. Solución: Se resuelve el sistema: x + y = 3° x = 3 – y° ò y + z = 2¢ z = 2 – y¢ £ £ Soluciones particulares: 8 A (3, 0, 2), B (2, 1, 1) ò AB(–1, 1, – 1) || (1, – 1, 1) y x–3= =z–2 –1

6.Determina si los puntos A(1, –3, 4) y B(2, 0, –3) están
en la recta siguiente: x–3 z r~ =y+1= –1 –3 Solución: A(1, –3, 4) 1–3 4 4 = –3 + 1 = ò 2 ? –2 ? – –1 –3 3 El punto A no pertenece a la recta. B(2, 0, –3) 2–3 –3 =0+1= ò1=1=1 –1 –3 El punto B pertenece a la recta.

4. Dada la recta siguiente:
y+3 x–1 = =z+2 4 2 escribe sus ecuaciones paramétricas. r~

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SOLUCIONARIO

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2. Planos en el espacio
■ Piensa y calcula
Calcula un vector perpendicular al plano XY Solución: El vector de coordenadas k (0, 0, 1)

● Aplica la teoría
7. Halla las ecuaciones paramétricas del plano determinado por el punto A(2, –3, 1) y los vectores u (2, – 1, 4) 8 y v (1, 3, – 2) Solución: ° x = 2 + 2l + µ § ¢ y = – 3 – l + 3µ ; l, µ é § z = 1 + 4l – 2µ £
8

11.Halla la ecuación del plano que pasa por los puntos
A(4, – 1, – 1), B(2, 0, 2) y C(3, – 1, 2) Solución: A(4, –1, –1) AB(– 2, 1, 3) AC (– 1, 0, 3)
8 8

8. Halla la ecuación del plano que pasa por el punto
A(1, – 3, 2) y tiene como vector normal n (1, – 4, 5) Solución: (x – 1) – 4 (y + 3) + 5 (z – 2) = 0 x – 4y + 5z – 23 = 0
8

|

x–4 –2 –1

y+1 1 0

z+1 =0 3 3

|

3x + 3y + z – 8 = 012. Halla la ecuación del plano que pasa por el origen de
coordenadas y es paralelo al plano π ~ 5x – 3y + 2z = 3 Solución: Si el plano es paralelo a π, un vector normal será:
8

9. Dados los puntos A(3, – 1, 2) y B(4, – 2, – 1), halla la
ecuación del plano que pasa por A y es perpendicular 8 al vector AB Solución: A (3, – 1, 2) AB(1, – 1, – 3) es perpendicular al plano. (x – 3) – (y + 1)– 3(z – 2) = 0 x – y – 3z + 2 = 0
8

n (5, – 3, 2) O(0, 0, 0) 5(x – 0) – 3(y – 0) + 2(z – 0) = 0 5x – 3y + 2z = 0

13. Halla la ecuación del plano que pasa por A(2, –1, 1) y 10. Halla la ecuación del plano que pasa por los puntos
A(2, –1, 3) y B(3, 1, 2) y es paralelo al vector v (3, –1, –4) Solución: A (2, – 1, 3)
8 8

es perpendicular a la recta siguiente: °2x – z + 1 = 0 r~¢ y=0 £Solución: A(2, –1, 1) 8 Si el plano es perpendicular a la recta r, el vector v de r 8 es el vector normal n al plano.
8

v (3, – 1, – 4)
8

AB(1, 2, – 1)
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|

x–2 3 1

y+1 –1 2

z–3 –4 = 0 –1

|

9x – y + 7z = 40

i 8 n=v = 2 0

|

j k 8 0 –1 = i + 2k ò v (1, 0, 2) 1 0

|

(x – 2) + 2(z – 1) = 0 x + 2z = 4

TEMA 6. ESPACIO AFÍN

191

3.Posiciones relativas de rectas y de rectas y planos
■ Piensa y calcula
°y = 1 Indica la posición relativa de la recta r ~ ¢ y el plano π ~ x = 0 £x = 1 Solución: 8 El vector director de la recta v (0, 0, 1) es paralelo al plano. Luego la recta es paralela al plano.

● Aplica la teoría
14. Estudia la posición relativa de las siguientes rectas:
z–3 x–1 y x–2 y–5 r~ = = z + 3; s ~ = = 2 3 –1...