Espacio Con Producto Interno

ΕSPACIO CON ΠRODUCTO ΙNTERNO
INTRODUCCIÓN
Muchas de las aplicaciones de las matemáticas están involucradas con el concepto de medición y por tanto, con el de magnitud o tamaño relativo de diversas cantidades. Luego no es sorprendente que los conjuntos o cuerpos de los números reales y los complejos que contienen una noción intrínsecamente de distancia jueguen un papel especial. El materialque se presenta a continuación consideramos que todos nuestros espacios vectoriales se encuentran sobre el cuerpo [pic].
Introducimos en las siguientes líneas la idea de distancia o longitud en los espacios vectoriales obteniendo una estructura mucho más rica, la famosa estructura de espacio con producto interno.

OBJETIVOS
OBJETIVO GENERAL
Describir detalladamente los elementos teóricosinherentes a los espacios con producto interno.
OBJETIVOS ESPECÍFICOS
• Definir los espacios con producto interno como objetos matemáticos.
• Desarrollar axiomáticamente el estudio de los espacios con producto interno.
• Establecer algunos resultados en relación a la aplicación de propiedades y teoremas propios del estudio de los espacios con producto interno.

ESPACIO CON PRODUCTO INTERNODEFINICIÓN 1.1:
Sea [pic]un espacio vectorial sobre el cuerpo [pic] con [pic] o [pic]. Un producto interno o producto escalar sobre [pic], es una función denotada por [pic] de [pic] en [pic]que satisface las siguientes condiciones:
|[pic] |
|[pic] |
|[pic]|
|[pic] (conjugado) |
|[pic] |


OBSERVACIONES:
1. [pic]con el producto interno [pic] se llama espacio con producto interno, interior o escalar. Al número real o complejo [pic]lo llamaremos producto interno o escalar de los vectores [pic].
2. Elproducto interno [pic], ya que según c) [pic] y esto sólo es cierto si [pic] es un número real.
3. Las condiciones a) y b) son indicadores de la linealidad de la primera componente y por lo tanto lo podemos resumir como sigue: [pic]
4. De la observación anterior se deduce que [pic] ¿por qué?
5. Si [pic] la condición c) quedaría de la siguiente forma [pic].
6. Un espacio vectorial real [pic]conun producto interno se llama también Espacio Euclidiano y un espacio vectorial complejo [pic]con producto interno se llama Espacio Unitario o Espacio Hermitiano.
7. Se le asigna, cuando es posible, un producto interno a un espacio vectorial para definir sobre el conceptos geométricos como: distancia entre dos vectores, ángulos, modulo o norma, perpendicularidad, entre otros. Estos conceptos noson inherentes al espacio vectorial sino que dependen del producto interno que en él se consideren.

EJERCICIOS RESUELTOS
1. En [pic]es producto interno la función que transforma a cada par [pic]en [pic]
En efecto:
Tomando [pic] definida por [pic] se cumplen las cuatro condiciones.
a. [pic] (ley interna en el espac. Vect.)
[pic] (Def. de lafunción)
[pic] (distr. en el cuerpo [pic])
[pic] (conmut. y asoc. en [pic])
[pic] (Def. de la función)
b. [pic]
[pic][pic]
[pic]
c. [pic]
[pic]
d. [pic]
Además suponiendo que [pic][pic]
[pic]
2. En [pic] es producto interno la función [pic] definida por [pic]
a. [pic]
[pic] (Def. de la función)
[pic] (distr. en [pic])
[pic]
[pic]
b. [pic]
[pic]
[pic]
c. [pic]...