Espacio De Estados

2. Espacio de estado

2.1 Introducci´ n o
La teor´a cl´ sica de control, basada principalemente en la transformada de Laplace, proporciona herramientas efectivas ı a para el an´ lisis, modelado y control de sistemas din´ micos, utilizando un enfoque muy sencillo y de f´ cil aplicaci´ n. La transa a a o formada de Laplace permite analizar sistemas utilizando una serie de reglas algebraicas enlugar de trabajar con ecuaciones diferenciales. Lo anterior simplifica grandemente el an´ lisis pero lleva a las siguientes limitantes: a No proporciona informaci´ n sobre la estructura f´sica del sistema. o ı Solo es v´ lida para sistemas lineales con una entrada y una salida e invariantes en el tiempo. a No proporciona informaci´ n de lo que pasa dentro del sistema. o Se necesita que lascondiciones iniciales del sistema sean nulas. Ning´ n sistema din´ mico de inter´ s cumple con todos estos requisitos, esto es: Los sistemas din´ micos reales presentan no u a e a linealidades, pueden tener m´ s de una entrada o m´ s de una salida, sus par´ metros cambian en el tiempo y las condiciones a a a iniciales no siempre tienen un valor de cero. Afortunadamente, para muchos sistemas es posibleconsiderar esas limitaciones, trabajar sobre una condici´ n de inter´ s, linealizar y utilizar las ventajas de la teor´a cl´ sica de control. Sin embargo, muchas o e ı a veces es de inter´ s conocer de un sistema algo m´ s que su relaci´ n entrada salida. Ya sea por la complejidad del sistema e a o din´ mico o por el tipo de an´ lisis resulta muchas veces necesario conocer la m´ xima informaci´ nposible del sistema para ser a a a o utilizada en su estudio o control. En estos casos es muy com´ n el uso del m´ todo en espacio de estado. El m´ todo en espacio u e e de estado es considerado la piedra angular de la teor´a de control moderna. La representaci´ n es espacio de estado presenta ı o las siguientes ventajas: Aplicable a sistemas lineales y no lineales. Permite analizar sistemas de m´ sde una entrada o m´ s de una salida. a a Pueden ser sistemas variantes o invariantes en el tiempo. Las condiciones iniciales pueden ser diferentes de cero. Proporciona informaci´ n de lo que pasa dentro del sistema. o Resultados sencillos y elegantes.

Figura 1: Modelado y funci´ n de transferencia o A continuaci´ n se definen algunos conceptos. o Sistema. Es un conjunto de elementos que act´ anjuntos en un fin determinado. Tambi´ n se entender´ como una relaci´ n u e a o entre entradas y salidas. Sistema determinista. Un Sistema es determinista, si a cada entrada le corresponde una y solo una salida. 1

Sistema monovariable. Es aquel que solo tiene una entrada y una salida. Si el sistema tiene m´ s de una entrada o m´ s de una a a salida se llamar´ sistema multivariable. a Sistemacausal o no anticipatorio. Es aquel que su salida para cierto tiempo t1 , no depende de entradas aplicadas despu´ s e de t1 . Obs´ rvese que la definici´ n implica que un sistema no causal es capaz de predecir entradas futuras, por lo tanto la e o causalidad es una propiedad intr´nseca de cualquier sistema f´sico. ı ı Sistema din´ mico. Es aquel cuya salida presente depende de entradas pasadas ypresentes. Si el valor de la salida en t1 a depende solamente de la entrada aplicada en t1 , el sistema se conoce como sistema est´ tico o sin memoria. a La salida de un sistema est´ tico permanece constante si la entrada no cambia. a En un sistema din´ mico la salida cambia con el tiempo aunque no se cambie la entrada, a menos que el sistema ya se a encuentre en estado estable. Sistema invariante en eltiempo. Es aquel que tiene par´ metros fijos o estacionarios con respecto al tiempo, es decir, sus a caracter´sticas no cambian al pasar el tiempo o dicho de otra forma, sus propiedades son invariantes con traslaciones en el ı tiempo.

2.2 Representaci´ n por medio del espacio de estado o
La principal ventaja de la representaci´ n en espacio de estado es que es posible el an´ lisis de...