Espacio dual

Cap´ ıtulo 4

Espacio dual
Una de las situaciones en donde se aplica la teor´ de espacios vectoriales es cuando se traıa baja con espacios de funciones, como vimos al final del cap´ ıtulo anterior. En este cap´ ıtulo estudiaremos algunas nociones b´sicas de ciertos espacios que de alguna forma le dan una a estructura a las ecuaciones lineales.

4.1

El espacio dual de un espacio vectorialDefinici´n 4.1 Sea V un K-espacio vectorial. Se llama espacio dual de V , y se lo nota V ∗ , o al K-espacio vectorial V ∗ = HomK (V, K) = {f : V → K / f es una transformaci´n lineal }. o Seg´n vimos en la Secci´n 3.7, si dim V = n, dadas B una base de V y B una base de u o K, se tiene que Γ : HomK (V, K) → K 1×n definida por Γ(f ) = |f |BB , es un isomorfismo. En consecuencia, dim(V ∗ ) = dim(K 1×n) = n = dim V. Ejemplo. Se consideran las transformaciones lineales δ1 , δ2 , δ3 de R3 a R definidas por δi (x1 , x2 , x3 ) = xi para i = 1, 2, 3. (R3 )∗ = = = = {f : R3 → R / f es transformaci´n lineal } o {f : R3 → R / f (x1 , x2 , x3 ) = ax1 + bx2 + cx3 con a, b, c ∈ R} {f : R3 → R / f = a δ1 + b δ2 + c δ3 con a, b, c ∈ R} < δ 1 , δ 2 , δ3 >

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Espacio dual

4.2

Base dual

Sea E ={e1 , e2 , e3 } la base can´nica de R3 . Las funciones del ejemplo anterior cumplen la o condici´n δi (ej ) = δij (donde δij es la funci´n delta de Kronecker, definida por δij = 1 si o o i = j y δij = 0 si i = j). En lo que sigue, fijada una base de cualquier espacio vectorial V de dimensi´n finita, vamos a ver c´mo encontrar una base de V ∗ que cumpla esta propiedad. o o Proposici´n 4.2 Sea V unK-espacio vectorial de dimensi´n n, y sea B = {v1 , . . . , vn } una o o base de V . Existe una unica base B ∗ = {ϕ1 , . . . , ϕn } de V ∗ tal que ´ ϕi (vj ) = B ∗ se llama la base dual de B. Demostraci´n. Para cada 1 ≤ i ≤ n, sea ϕi : V → K la transformaci´n lineal definida en la o o base {v1 , . . . , vn } por: 1 si i = j ϕi (vj ) = 0 si i = j. Como dim(V ∗ ) = n, para ver que ϕ1 , . . . , ϕn ∈ V ∗forman una base de V ∗ , basta verificar que son linealmente independientes. Sean a1 , . . . , an ∈ K tales que a1 ϕ1 + · · · + an ϕn = 0. Evaluando en vi , resulta que 0 = a1 ϕ1 (vi ) + · · · + ai ϕi (vi ) + an ϕn (vi ) = ai para i = 1, . . . , n. En consecuencia, B ∗ = {ϕ1 , . . . , ϕn } verifica las condiciones requeridas. Supongamos que {ϕ1 , . . . , ϕn } sea otra base que satisface las mismascondiciones. Entonces, para cada 1 ≤ i ≤ n, se tiene que • ϕi (vj ) = 0 = ϕi (vj ) si 1 ≤ j ≤ n, j = i, • ϕi (vi ) = 1 = ϕi (vi ) = 1, es decir, ϕi y ϕi son dos transformaciones lineales que coinciden sobre una base. En consecuencia, ϕi = ϕi para cada 1 ≤ i ≤ n. Ejemplos. 1. El ejemplo de la Secci´n 4.1 muestra que la base dual de la base can´nica de R3 es o o E ∗ = {δ1 , δ2 , δ3 }, donde δi (x1 ,x2 , x3 ) = xi para i = 1, 2, 3. 2. Sea V = R2 . Consideremos la base B = {(1, 1), (1, −1)}. Si B ∗ = {ϕ1 , ϕ2 } es la base dual de B, entonces debe cumplir ϕ1 (1, 1) = 1 ϕ1 (1, −1) = 0 y ϕ2 (1, 1) = 0 ϕ2 (1, −1) = 1 1 0 si i = j si i = j

4.2 Base dual

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Puesto que para cada (x, y) ∈ R2 vale (x, y) = resulta que ϕ1 (x, y) = x+y x−y (1, 1) + (1, −1) 2 2

x+y x−y y ϕ2 (x, y) = . 2 2Si B es una base de un K-espacio vectorial V de dimensi´n finita y B ∗ es su base dual, o es posible calcular f´cilmente las coordenadas de un elemento de V en la base B utilizando a la base B ∗ . Rec´ ıprocamente, utilizando la base B, es f´cil obtener las coordenadas en la base a B ∗ de un elemento de V ∗ . Observaci´n 4.3 Sea B = {v1 , . . . , vn } una base de V y sea B ∗ = {ϕ1 , . . . , ϕn }su base o dual. • Dado v ∈ V , podemos escribir v =
n i=1 n

αi vi , con αi ∈ K. Entonces, para cada 1 ≤ j ≤ n,
n

ϕj (v) = ϕj
i=1

α i vi =
i=1

αi ϕj (vi ) = αj .

Luego, (v)B = (ϕ1 (v), . . . , ϕn (v)). • Dada ϕ ∈ V ∗ , existen βi ∈ K tales que ϕ =
n n i=1

βi ϕi . Entonces, para cada 1 ≤ j ≤ n,
n

ϕ(vj ) =
i=1

βi ϕi (vj ) =
i=1

βi ϕi (vj ) = βj .

Luego, (ϕ)B ∗ =...