ESPACIO en el estado

Facultad de Ingeniería

Bioingeniería

Control de Procesos

METODO DEL ESPACIO DE ESTADO
ESTADO: El estado de un sistema dinámico es el conjunto más pequeño de variables
( denominadas variables de estado) tal que el conocimiento de esas variables en t = t0,
conjuntamente con el conocimiento de la entrada para t ≥ t0, determinan completamente el
comportamiento del sistema en cualquiertiempo t ≥ t0 .
VARIABLES DE ESTADO: Las variables de estado de un sistema dinámico son las variables
que constituyen el conjunto más pequeño de variables que determinan el estado del mencionado
sistema dinámico.
Se requieren al menos n variables x1 , x2, …, xn para describir completamente el comportamiento
dinámico del sistema de orden n. Estas son las n variables de estado.
Conocidas estasvariables n variables en el instante de tiempo inicial y las evoluciones de las
entradas para tiempos t ≥ t0 , el estado futuro del sistema queda completamente determinado. Es
importante aclarar que las variables de estado pueden ser medibles o no, que representen
magnitudes físicas o solo matemáticas. Pero deben ser las mínimas n ( equivalentes a los n
elementos de almacenamiento de energíahablando de sistemas dinámicos físicos para un sistema
de orden n).
ESPACIO DE ESTADO: El espacio de n-dimensiones cuyos ejes coordenados consisten en el
eje x1 , el eje x2 , … , el eje xn , se denomina Espacio de Estado. Cualquier estado se puede
representar por un punto en el espacio de estado.
ECUACIONES EN EL ESPACIO DE ESTADO: Para la representación del modelo dinámico
de sistemas en elespacio de estado se usan tres tipos de variables.
♦ Las variables de entradas,
♦ las variables de salida
♦ las variables de estado.
La ventaja del uso en representación en espacio estado es que éste puede en su modelado
representar sistemas tanto continuos como discretos, lineales o no lineales variables o invariantes
en el tiempo y generalmente usados en notación matricial.
Se usará eneste curso solo para sistemas lineales a coeficientes constantes invariables en el
tiempo, que en el campo temporal, se puede expresar por el siguiente sistema de ecuaciones:
x 1’
x 2’
…
x n’

= a11 x1 + a12 x2 + … + a1n xn
= a12 x1 + a22 x2 + … + a2n xn
= … … …
… …
= an1 x1 + an2 x2 + … + ann xn

+
+
+
+

b11 u1 + b12 u2 + … + b1m um
b21 u1 + b22 u2 + … + b1m um
…
…
bn1 u1 +bn2 u2 + … + bnm um

que representada en forma de notación matricial es:
x’ = A x + B u
siendo x’ el vector derivada en el tiempo de las variables de estado de dimensión n por uno
( Columna)
Guía de Espacio de Estado

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u el vector de entrada ( también denominado de control) de dimensión
A la matriz de estado dedimensiones n por n ( cuadrada)
B la matriz de entrada de dimensiones m por n
y1 = c11 x1 + c12 x2 + … + c1n xn
y2 = c21 x1 + c22 x2 + … + c2n xn
…=
…
…
yr = cr 1 x1 + cr 2 x2 + … + cr n xn

+
+
+
+

d11 u1 + … + d1m um
d21 u1 + … + d2m um
…
…
dr 1 u1 + … + dr m um

expresada en notación vectorial:
y=Cx+Du
siendo y el vector de salida de dimensión r por uno ( columna)
C la matrizde Salida de dimensión r por n
D la matriz de transmisión directa de dimensión r por m

D
Y
U

B

+

x’

∫ dt

x

C

+

A

Si se considera para cada par entrada_salida se tendrá una función de trasferencia, las que se
pueden obtener si se aplica Transformada de Laplace y considerando condiciones iniciales nulas.
SX(s) = A X + B U(s)
[ I S - A ] X(s) = B U(s)

recordarque X(0) = 0 y por tanto
y por tanto X(s) =[ I S - A ] - 1 B U(s) y la salida

Y(s) = C [ I S - A ] - 1 B U(s) + D U(s) = { C [ I S - A ] - 1 B U(s) + D } U(s)
Siendo G(s) la Matriz Función de Transferencia
= G(s) U(s)
Recordar que la matriz inversa de [IS - A ] es igual a la matriz adjunta dividida el determinante
que es un polinomio de grado n, siendo sus raíces los autovalores de la...