Espacio Euclidiano

dianoCapítulo 1 El Plano Euclidiano
1.1 La Geometría Griega

En el principio, la geometría era una colección de reglas de uso común para medir y construir casas y ciudades. Fue hasta el año 300 AC que Euclides de Alejandría, en sus Elementos, ordena y escribe todo ese saber, imprimiéndole el sello de rigor lógico que caracteriza y distingue a las matemáticas. Se da cuenta de que todorazonamiento riguroso (o demostración) debe basarse sobre ciertos principios previamente establecidos ya sea, a su vez, por demostración o bien por convención. Pero a final de cuentas, este método conduce a la necesidad ineludible de convenir en que ciertos principios básicos (postulados o axiomas) son válidos sin necesidad de demostrarlos, que están dados y son incontrovertibles para poder construir sobreellos el resto de la teoría. Lo que hoy se conoce como Geometría Euclidiana, y hasta hace dos siglos simplemente como Geometría, está basada sobre los cinco postulados de Euclides: I Por cualesquiera dos puntos, se puede trazar el segmento de recta que los une. II Dados un punto y una distancia, se puede trazar el círculo de centro el punto y radio la distancia. III Un segmento de recta, se puedeextender en ambas direcciones indefinidamente. IV Todos los ángulos rectos son iguales. V Dadas dos rectas y una tercera que las corta, si los ángulos internos de un lado suman menos de dos ángulos rectos, entonces las dos rectas se cortan y lo hacen de ese lado. Obsérvese que en estos postulados se describe el comportamiento y la relación entre ciertos elementos básicos de la geometría, como son“punto”, “trazar”, “segmento”, “distancia”, etc. De alguna manera, se le dá la vuelta a su definición haciendo uso de 13

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CAPÍTULO 1. EL PLANO EUCLIDIANO

la noción intuitiva que se tiene de ellos y haciendo explicitas ciertas relaciones básicas que deben cumplir. De estos postulados o axiomas, el quinto es el más famoso pues se creía que podría deducirse de los otros. Es más sofisticado, yentonces se pensó que debía ser un Teorema, es decir, ser demostrable. De hecho, un problema muy famoso fué ese: demostrar el quinto postulado usando unicamente a los otros cuatro. Y muchísimas generaciones de matemáticos lo atacaron sin exito. No es sino hasta el siglo XIX, y para la sorpresa de todos, que se demuestra que no se puede demostrar; que efectivamente hay que suponerlo como axioma,pues negaciones de él dan origen a “nuevas geometrías”, tan lógicas y bien fundamentadas como la euclidiana. Pero esta historia se vera más adelante (en los Capítulos 6 y 8) pues por el momento nos interesa introducir a la geometría analítica. La publicación de la “Geometrie” de Descartes (1596—1650) marca una revolución en las matemáticas. La introducción del álgebra a la solución de problemas deíndole geométrico desarrolló una nueva intuición y con ésta, un nuevo entender de la naturaleza de las “Linges Courves”. Para comprender lo que hizo Descartes, se debe tener más familiaridad con el quinto postulado. Además del enunciado original, hay otras dos versiones que son equivalentes: V.a (El Quinto) Dada una línea recta y un punto fuera de ella, existe una única recta que pasa por el punto yque es paralela a la línea. V.b Los ángulos interiores de un triángulo suman dos ángulos rectos. De las tres versiones que hemos dado del quinto postulado de Euclides, usaremos a lo largo de este libro a la V.a, a la cual nos referiremos simplemente como “El Quinto”. Antes de entrar de lleno a la Geometría Analítica demostremos, a manera de homenaje a los griegos y con sus métodos, uno de susteoremas más famosos e importantes. Teorema 1.1.1 (Pitágoras). Dado un triángulo rectángulo, si los lados que se encuentran en un ángulo recto (llamados catetos) miden a y b, y el tercero (la hipotenusa) mide c, entonces a2 + b2 = c2 .

a b

c

Demostración. Considérese un cuadrado de lado a + b, y colóquense en él cuatro copias del triángulo de dos maneras diferentes como en la figura. Las...