espacio proyectivo

El Espacio Proyectivo

Jos´ Luis T´bara
e
a
Versi´n 0.1, 22 Noviembre 2001
o

´
Indice general
1. El espacio proyectivo
1.1. Definici´n de espacio proyectivo
o
1.2. Subvariedades lineales . . . . .
1.3. Homograf´ Grupo proyectivo
ıas.
1.4. Aplicaciones proyectivas . . . .
1.5. El espacio dual . . . . . . . . .
1.6. Cambio de base . . . . . . . . .
Problemas . . . . . . . . . .. . . . .

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2. Sistemas de referencia
2.1. Coordenadas homogeneas . . . . . . . .
2.2. Ecuaciones de subespacios proyectivos .
2.3. Raz´n doble de cuatro puntos alineados .
o
2.4. Sistemas de referencia duales . . . . . . .
Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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3. El espacio af´
ın
3.1. Definici´n de espacio af´ .
o
ın
3.2. Coordenadas afines . . . .
3.3. Afinidades . . . . . . . . .
Problemas . . . . . . . . . . . .

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4. El grupo proyectivo
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4.1. Colineaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
4.2. Perspectividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
4.3. Homolog´
ıas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
´
Indice de Materias

27

1

Cap´
ıtulo 1
El espacio proyectivo
1.1.

Definici´n de espacio proyectivo
o

Sea E un espacio vectorial sobre un cuerpo k. Cuando sea preciso supondremos que su dimensi´n es finita.
o
En E − {0} se define la siguiente relaci´n de equivalencia: e ∼ e cuando
o
exista un λ distinto de cero talque e = λe .
Definici´n 1.1 Al conjunto cociente lo llamaremos espacio proyectivo asoo
ciado a E y lo denotaremos por P(E).
La aplicaci´n de paso al cociente se denotar´
o
a
π : E − {0} −→ P(E)
e
−→ π(e)
aunque muchas veces cometeremos el abuso de notaci´n de escribir
o
π : E −→ P(E)
e −→ π(e)
a pesar de que la funci´n no est´ definida en el cero.
o
a
Dos vectores son equivalentes si ysolo si generan el mismo subespacio
vectorial. Las clases de equivalencia son las rectas vectoriales a las que se le
ha quitado el origen. Por ello el espacio proyectivo se identifica con el conjunto
de rectas de E. Si p = π(e) diremos que el punto p es la proyectivizaci´n de
o
e, o bien que e es un representante de p. Esta observaci´n nos permite dar
o
una nueva definici´n de espacioproyectivo.
o
Definici´n 1.2 El espacio proyectivo asociado a E es el conjunto de todas
o
las rectas vectoriales de E.
En el caso en que E = k n+1 denotaremos el espacio proyectivo por Pn o
por Pn (k) si es necesario hacer referencia al cuerpo.
2

El Espacio Proyectivo

1.2.

Subvariedades lineales

Diremos que un subconjunto de P(E) es una subvariedad lineal cuando sea
la imagen por laproyecci´n can´nica π de alg´n subespacio de E.
o
o
u
Si V es un subespacio vectorial de E y X = π(V ), diremos que X es la
proyectivizaci´n de V , y se verifica que los puntos de X se corresponden de
o
modo can´nico con los del espacio proyectivo asociado a V . Por ello cada
o
subvariedad lineal se puede entender como un espacio proyectivo.
El conjunto vac´ tambi´n se considerar´, por...