Espacio vectorial con producto interno y sus propiedades

MATEMÁTICAS IV

UNIDAD NOMBRE TEMAS Y SUBTEMAS
IV Espacios vectoriales 4.5 Espacio vectorial con producto interno y sus propiedades.

4.5 Espacio vectorial con producto interno y suspropiedades.
DEFINICIÓN 1
Espacio con producto interno.- Un espacio vectorial complejo V se llama espacio con producto interno si para cada par ordenado de vectores u y v en V, existe un número complejo único(u,v), llamado producto interno de u y v, tal que si u, v y w están en V y
C, entonces
EJEMPLO
Un producto interno en Rn.- es un espacio con producto interno con (u, v)= u * v.
DEFINICIÓN 2
SeaV un espacio con producto interno y suponga que u y v estan en V. Entonces
i. U y v son ortogonales si (u, v) = 0
• La norma de u, denota por u, esta dada por
U =
Nota: A la u se le pone doblebarra para evitar confusión con el valor absoluto
EJEMPLO
Dos vectores ortogonales en C2 En C2 los vectores (3, -1) y (2, 6i) son ortogonales porque
((3, -1), (2, 6i)) = 3*2 + (-i)(6i) = 6 +(-i)(-6i) = 6 -6 = 0 además (3, -i)) = = .

DEFINICIÓN 3
Conjunto ortonormal .- El conjunto de vectores v1, v2, . . ., vn es un conjunto ortonormal en V si
(vi, vj) = 0 para i
y
vi = = 1DEFINICIÓN 4
Complemento ortogonal.- Sea H un subespacio del espacio con producto interno V. Entonces el complemento ortogonal de H, denotado por H, está dado por
H = x
V : (x, h) = 0 para todo h
HEn el conjunto Rn , definimos las operaciones suma de vectores, resta de vectores, y
multiplicación por un escalar (número real)., así:

Suma: Si u = (u1, u2) y v = (v1, v2), definimos
u+ v =(u1 + v1, u2 + v2)

Resta: Si u = (u1, u2) y v = (v1, v2), definimos
u- v= (u1 - v1, u2 - v2)

Multiplicación por un escalar:
Siv = (v1, v2), y c e R, definimos cv = (c v1, c v2)

Ejemplos
u =(2, 1) y v = (1, 3),

u+ v = (2 + 1, 1 + 3) = (3,4) u- v = (2 - 1, 1 - 3) = (1,-2) v- u = (1 - 2, 3 - 1) = (-1,2)
3u = ( 3×2,3×1) = (6,3)
-u =
-1(2,1) = (-2,-1)
(1/3)v = 1/3 (1,3)
=...