Espacio Vectorial

1.- DEFINICIÓN DE VECTOR Y CARACTERISTICAS
Las propiedades comunes de la aritmética matricial y vectorial se transforman en propiedades definitorias para un conjunto de vectores abstractos o generalizados, llamado espacio vectorial. Los conjuntos de matrices y vectores ordinarios son ejemplos de espacios vectoriales. También lo son una gran variedad de otros conjuntos. La ventaja principal deestas generalizaciones estriba en los inmensos ahorros de trabajo, porque las propiedades de los vectores abstractos se aplican a todos los ejemplos particulares. Además, las demostraciones se tornan claras y fáciles, porque no tienen la notación de algún ejemplo especifico.
El matematico a quien se acredita la introducción y la primera aplicación de estas ideas es Hermann Grassmann. Grassmann fueel primero en definir un epacio vectorial n dimensiona, al que llamó “sistema de números hipercomplejos”, y la independencia lineal. Giuseppe Peano aclaro el trabajo de Grassmann. La definición de un espacio vectorial tuvo sus orígenes en la lectura que hizo Peano de los trabajos de Grassmann. Introdujo algunas notaciones matematicas que se usan hoy como simbolos como Є, que significa pertenece a,esta en, o es un miembro de.
La definición de un vector y su representación resultan de gran utilidad para esquematizar sistemas de ecuaciones o desigualdades lineales. De hecho, los vectores ayudan a representar y discutir en forma compacta un problema de programación lineal.
Un vector es un arreglo de números. A cada uno de los números contenidos en un vector se le denomina elemento y alnumero total de elementos se le conoce como dimensión. Los vectores serán denotados por letras minúsculas en negritas mientras que los elementos serán indicados por letras minúsculas cursivas. Por ejemplo:
a1 = (a1, a2, a3,…,an)
se expresa a1 es un vector de dimensión cuatro y a1 es su primer elemento.
Las características de un vector son:
* Su origen: en el punto de apkicacion O.
* Sudirección: la de la recta (D).
* Su sentido: el que indica la flecha
* Su modulo: la longitud V
Si estos cuantro parámetros están fijos, se trata de un vector fijo. Si se fijan su dirección, sentido, modulo y recta soporte, se dice que el vector es deslizante. Si el vector es arbitrario, el vector es libre. El modulo del vector V se denota por V o bien por /V/. Un vector u unitario, es unvector de modulo 1.
O
V
V = Vu

u

(D) recta soporte

2.- SUBESPACIOS EN Rn
Un subconjunto V no vacio de Rn se llama subespacio (vectorial o lineal) de Rn si satisface las siguientes propiedades.
Si u y v están en V, entonces u + v esta en V.
Si c es cualquier escalar y u esta en V, entonces cu esta en V.
x
y
0
Las propiedades 1 y 2 implican que cualquier combinación lineal deelementos de V también esta en V. sun un conjunto S no vacio de Rn satisface la parte 1 de la definición se dice que S es cerrado bajo (o respecto a) la suma (vectorial). Si S cumple l parte 2, se dice S es cerrado abajo (o respecto a) la multiplicación por escalares. Asi, un subespacio de Rn es un conjunto cerrado bajo la suma vectorial y la multiplicación por escalares.
, x,y Є R
V =
es unsubespacio de R3.
x1 + x2
y1 + y2
0
x2
y2
0
x1
y1
0
V es no vacio, porque contiene el vector cero (suponiendo que x = y = 0). La suma de dos vectores en V,
+ =

cx
cy
0
x
y
0
tambien esta en V. Así, se aplica la parte 1 de la definición. Cualquier múltiplo escalar de un vector en V
c =

tambien esta en V. Entonces se aplica la parte 2 de la definición. Porconsiguiente, es un subespacio de R3.
Ejemplos:
Suponga que se tienen los puntos P1 (x1, y1, z1) y P2(x2, y2, z2). Si trazamos un segmento de recta dirigido desde P1 hacia P2 tenemos una representación del vector v = P1P2 = (x2 – x1, y2 – y1, z2 – z1)

Representa el grafico de los puntos (2, -1, 5), (-2, 3, 6) y (3, 5, -4)

3.- DEFINICION DE VECTOR POSICION Y VECTOR NO POSICION
El vector...