Espacio vectorial
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Publicado: 24 de noviembre de 2011
Espacio vectorial
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Este artículo está orientado a proporcionar un tratamiento riguroso y abstracto del concepto de espacio vectorial. Para una introducción más accesible al concepto, véase Vector
Vector space illust.svg
En matemáticas, un espacio vectorial es una estructura algebraica creada a partir de un conjunto no vacío, una operacióninterna (llamada suma, definida para los elementos del conjunto) y una operación externa (llamada producto, definida entre dicho conjunto y un cuerpo matemático), cumpliendo una serie de propiedades o requisitos iniciales.
A los elementos de un espacio vectorial se les llama vectores y a los elementos del cuerpo, escalares.
Contenido
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1 Historia
2 Notaciones
3Definición de espacio vectorial
3.1 Observación
3.2 Propiedades
3.3 Primer ejemplo con demostración al detalle
4 Ejemplos de espacios vectoriales
4.1 Los cuerpos
4.2 Sucesiones sobre un cuerpo
4.3 Espacios de aplicaciones sobre un cuerpo
4.3.1 Los polinomios
4.3.2 Funciones trigonométricas
4.4 Los sistemas deecuaciones lineales homogéneas
5 Definición de subespacio vectorial
5.1 Consecuencias
6 Resultados internos
6.1 Combinación lineal
6.2 Independencia lineal
6.3 Base de un espacio vectorial
6.4 Base formalmente
6.4.1 Teorema de la base de generadores
6.4.2 Teorema Steinitz
6.5 Observación
6.6 Dimensión6.6.1 Notación
6.7 Intersección de subespacios vectoriales
6.8 Suma de subespacios vectoriales
6.9 Teorema Fórmula de Grassmann
6.10 Suma directa de subespacios vectoriales
6.11 Cociente de espacios vectoriales
7 Construcciones básicas
7.1 Suma directa de espacios vectoriales
8 Espacios vectoriales con estructura adicional8.1 Espacios normados
8.2 Espacio métrico
8.3 Espacios vectoriales topológicos
8.4 Espacios de Banach
8.5 Espacios prehilbertianos
8.6 Espacios de Hilbert
9 Morfismos entre espacios vectoriales
9.1 Aplicaciones lineales
10 Véase también
11 Referencias
11.1 Notas
11.2 Referencias históricas
11.3Bibliografía
12 Enlaces externos
[editar] Historia
Históricamente, las primeras ideas que condujeron a los espacios vectoriales modernos se remontan al siglo XVII: geometría analítica, matrices y sistemas de ecuaciones lineales.
Los espacios vectoriales se derivan de la geometría afín, a través de la introducción de coordenadas en el plano o el espacio tridimensional. Alrededor de1636, los matemáticos franceses Descartes y Fermat fundaron las bases de la geometría analítica mediante la vinculación de las soluciones de una ecuación con dos variables a la determinación de una curva plana.nota 1 Para lograr una solución geométrica sin usar coordenadas, Bernhard Bolzano introdujo en 1804 ciertas operaciones sobre puntos, líneas y planos, que son predecesores de los vectores.nota2 Este trabajo hizo uso del concepto de coordenadas baricéntricas de August Ferdinand Möbius de 1827.nota 3
La primera formulación moderna y axiomática se debe a Giuseppe Peano, a finales del siglo XIX. Los siguientes avances en la teoría de espacios vectoriales provienen del análisis funcional, principalmente de los espacios de funciones. Los problemas de Análisis funcional requerían resolverproblemas sobre la convergencia. Esto se hizo dotando a los espacios vectoriales de una adecuada topología, permitiendo tener en cuenta cuestiones de proximidad y continuidad. Estos espacios vectoriales topológicos, en particular los espacios de Banach y los espacios de Hilbert tienen una teoría más rica y elaborada.
El origen de la definición de los vectores es la definición de Giusto...
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Este artículo está orientado a proporcionar un tratamiento riguroso y abstracto del concepto de espacio vectorial. Para una introducción más accesible al concepto, véase Vector
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En matemáticas, un espacio vectorial es una estructura algebraica creada a partir de un conjunto no vacío, una operacióninterna (llamada suma, definida para los elementos del conjunto) y una operación externa (llamada producto, definida entre dicho conjunto y un cuerpo matemático), cumpliendo una serie de propiedades o requisitos iniciales.
A los elementos de un espacio vectorial se les llama vectores y a los elementos del cuerpo, escalares.
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1 Historia
2 Notaciones
3Definición de espacio vectorial
3.1 Observación
3.2 Propiedades
3.3 Primer ejemplo con demostración al detalle
4 Ejemplos de espacios vectoriales
4.1 Los cuerpos
4.2 Sucesiones sobre un cuerpo
4.3 Espacios de aplicaciones sobre un cuerpo
4.3.1 Los polinomios
4.3.2 Funciones trigonométricas
4.4 Los sistemas deecuaciones lineales homogéneas
5 Definición de subespacio vectorial
5.1 Consecuencias
6 Resultados internos
6.1 Combinación lineal
6.2 Independencia lineal
6.3 Base de un espacio vectorial
6.4 Base formalmente
6.4.1 Teorema de la base de generadores
6.4.2 Teorema Steinitz
6.5 Observación
6.6 Dimensión6.6.1 Notación
6.7 Intersección de subespacios vectoriales
6.8 Suma de subespacios vectoriales
6.9 Teorema Fórmula de Grassmann
6.10 Suma directa de subespacios vectoriales
6.11 Cociente de espacios vectoriales
7 Construcciones básicas
7.1 Suma directa de espacios vectoriales
8 Espacios vectoriales con estructura adicional8.1 Espacios normados
8.2 Espacio métrico
8.3 Espacios vectoriales topológicos
8.4 Espacios de Banach
8.5 Espacios prehilbertianos
8.6 Espacios de Hilbert
9 Morfismos entre espacios vectoriales
9.1 Aplicaciones lineales
10 Véase también
11 Referencias
11.1 Notas
11.2 Referencias históricas
11.3Bibliografía
12 Enlaces externos
[editar] Historia
Históricamente, las primeras ideas que condujeron a los espacios vectoriales modernos se remontan al siglo XVII: geometría analítica, matrices y sistemas de ecuaciones lineales.
Los espacios vectoriales se derivan de la geometría afín, a través de la introducción de coordenadas en el plano o el espacio tridimensional. Alrededor de1636, los matemáticos franceses Descartes y Fermat fundaron las bases de la geometría analítica mediante la vinculación de las soluciones de una ecuación con dos variables a la determinación de una curva plana.nota 1 Para lograr una solución geométrica sin usar coordenadas, Bernhard Bolzano introdujo en 1804 ciertas operaciones sobre puntos, líneas y planos, que son predecesores de los vectores.nota2 Este trabajo hizo uso del concepto de coordenadas baricéntricas de August Ferdinand Möbius de 1827.nota 3
La primera formulación moderna y axiomática se debe a Giuseppe Peano, a finales del siglo XIX. Los siguientes avances en la teoría de espacios vectoriales provienen del análisis funcional, principalmente de los espacios de funciones. Los problemas de Análisis funcional requerían resolverproblemas sobre la convergencia. Esto se hizo dotando a los espacios vectoriales de una adecuada topología, permitiendo tener en cuenta cuestiones de proximidad y continuidad. Estos espacios vectoriales topológicos, en particular los espacios de Banach y los espacios de Hilbert tienen una teoría más rica y elaborada.
El origen de la definición de los vectores es la definición de Giusto...
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