Espacio Vectorial


Politécnico Santiago Mariño
Escuela Mantenimiento Mecánico
Algebra Lineal








Definiciones Vectoriales.









Humberto Micalizzi.
C.I.:16243906






Valencia; 04 de febrero de 2013.



Espacio vectorial:
Un espacio vectorial (o espacio lineal) es el objeto básico deestudio en la rama de la matemática llamada álgebra lineal. A los elementos de los espacios vectoriales se les llama vectores. Sobre los vectores pueden realizarse dos operaciones: la multiplicación por escalares y la adición (una asociación entre un par de objetos). Estas dos operaciones se tienen que ceñir a un conjunto de axiomas que generalizan las propiedades comunes de las tuplas de númerosreales así como de los vectores en el espacio euclídeo. Un concepto importante es el de dimensión.

Conceptos Básicos en Teoría de Grupos:
La teoría de grupos proporciona el lenguaje adecuado para formular y desarrollar los principios de simetría inherentes a la Física. Gran parte de la estructura que aparece en la resolución de un sistema, tanto en la física clásica como en la física cuántica, esconsecuencia de la simetría subyacente a dicho sistema. La teoría de grupos trata de desarrollar esos aspectos universales que presentan todos los sis- temas que contienen simetrías de naturaleza análoga. Se trata, por tanto, de un conocimiento fundamental para poder resolver un enorme conjunto de problemas de la física. En el marco de la teoría de grupos juega un rol fundamental la llamada teoríade representaciones, la que permite clasificarcar los objetos físicos según la simetría que subyace al sistema de interés. La teoría de grupos es un campo muy amplio. Este curso, dadas las limitaciones de tiempo, debe considerarse introductorio.
Se llama grupo a cualquier conjunto G de transformaciones de simetría que cumple:
1) Existe una ley de composición interna, normalmente llamadamultiplicación o suma: 



2) La ley es asociativa: 
3) Existe un elemento neutro e: 

a este elemento se le denomina 1 en la multiplicación o 0 en la suma.
4) Todo elemento a posee inverso a-1 (o -a en la suma, en cuyo caso se suele llamar simétrico): A veces los postulados 3) y 4) se sustituyen por otros más débiles pero equivalentes en donde sólo aparece la multiplicación (suma) por la izquierda.
Subgrupo:
Cuando un subconjunto H de G conserva las propiedades de grupo con la misma operación se denomina subgrupo de G. En todo grupo hay dos subgrupos, llamados impropios, que son él mismo y la identidad.
Si todos los elementos del grupoconmutan el grupo se denomina conmutativo o abeliano. Una forma de medir el grado de conmutatividad de un grupo es mediante la operación de conjugación:

lógicamente, si el grupo es conmutativo todos sus elementos coinciden con sus conjugados y sólo existirá una clase de equivalencia de conjugación.



Un subgrupo H de G se denomina normal o invariante o auto-conjugado si sus conjugados concualquier elemento de G permanecen en H (todo subgrupo de un grupo abeliano es normal). Si un grupo sólo tiene los subgrupos normales triviales se denomina simple. A los grupos triviales (la identidad y el mismo grupo) a veces se les denomina subgrupos impropios. Por tanto, un grupo será simple si no posee subgrupos normales propios. Diremos que un grupo es semi-simple si no posee subgrupos normalesabelianos propios. El grupo se llamará finito si tiene un número finito de elementos. A este número se le llama orden del grupo y se denota como |G|. En caso contrario hablaremos de un grupo infinito. Un ejemplo de grupo finito sería el grupo de permutaciones de 3 elementos, S3, perteneciente a los llamados grupos simétricos por coincidir con el conjunto de aplicaciones biyectivas que se pueden...