Espacio vectorial

 
 ESPACIOS VECTORIALES
El singular incidente de la Tribu Vectorial 
Se cuenta que una vez existió una tribu de indios que creían firmemente que las flechas eran vectores. Si querían matar a un ciervo que se encontraba directamente al Noroeste, no disparaban una flecha al Nooeste, sino que disparaban dos flechas simultáneamente, una directamente hacia el Oeste, confiados en que la poderosaresultante de las dos flechas matarían al ciervo. 
Los científicos escépticos han dudado de la veracidad de este rumor, basándose en que no se ha encontrado las más ligera huella de la existencia de tal tribu. Ahora bien, la absoluta desaparición de la tribu, a consecuencia de la inanición, es precisamente lo que cualquiera hubiera esperado, dudas las condiciones. Y, puesto que la teoría afirma quela tribu existió confirma dos cosas tan diversas como ``el comportamiento no vertical de las flechas" y el ``principio darwinista de la selección natural", no es, seguramente, una teoría que pueda rechazarse a la ligera. |

(Tomado de la revista "Cuadernos de Educación Matemática", Vol.1, Departamento de Matemáticas, UNAM, México.)
 
 
    | Espacios Vectoriales  Reales     |  Definición 1|
  | Sea V un conjunto sobre el cual se definen dos operaciones, a saber:  1.)   |   Adición
              Si  V y  V, entonces  V |
2.)  | Multiplicación escalar
              Si  y  V, entonces  V. |
V se dice que es un espacio vectorial real para las operaciones definidas anteriormente, si estas cumplen las siguientes propiedades:  a.) | , para todo  en V. |
b.) | , para todo  en V. |c.) | Existe un elemento en V, denotado 0 y llamado vector cero, tal que para todo  en V cumple que . |
| Para todo  en V, existe un elemento en V, denotado , tal que . |
e.) | , para todo , y para todo  en V |
f.) |   , para todo , y para todo  en V. |
g.) |  , para todo , y para todo  en V. |
h.) | , para todo  en . |
|
 Los elementos de un espacio vectorial reciben el nombrede vectores.  |

   | Ejemplos de espacios vectoriales reales:  1.  Sea V el conjunto de las matrices cuadradas de orden 2, con entradas en el conjunto de los números reales, estos es:Entonces V con las operaciones siguientes es un espacio vectorial.   i. Adición Sea | |  y   | | |
                          ii.  Multiplicación escalar Sea | | y  un número real, entonces: | |
  2.Sea  el conjunto formado por todos los polinomios de grado menor o igual que n, esto es:Se puede verificar que  con las operaciones suma y multiplicación escalar que se definen a continuación constituye un espacio vectorial. i. Adición
Sean  y  dos polinomios en  tales que:  Entonces se define: 
      ii.  Multiplicación escalar Sea | |   y   IR, entonces se define: |
          3.  Se define elconjunto  de la siguiente manera:En  se define la suma y la multiplicación escalar de la siguiente forma:  i.) AdiciónSean  en  tales que , entonces 
 ii.) La multiplicación escalar Sea | |   y , se define: |
Se puede verificar que  es un espacio vectorial con las dos operaciones definidas anteriormente. 
Dos casos especiales, que se analizarán posteriormente, lo constituyen:
  Ejercicios 1.Sean  y  dos números reales, tales que . Sea  el conjunto de las funciones continuas de valor real definidas en . 
En  se define la suma de funciones y la multiplicación escalar de la siguiente forma:  i.) |  Suma   |
| |
ii.) | Multiplicación escalar    |
| |
 Verifique que , con las operaciones definidas anteriormente es un espacio vectorial.  2.Sea  el subconjunto de , definido de lasiguiente forma:Verifique que  con las operaciones definidas en el punto 1 de este ejercicio es un espacio vectorial. 3.Verifique que si se define  como entonces  con las operaciones definidas en el punto 2 del ejemplo anterior, no es un espacio vectorial real.
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   | Combinación lineal de vectores.    |  Definición 2 |
  | Sean  vectores de un espacio vectorial real V. Sea  otro...