Espacio Vectorial

un espacio vectorial es una estructura algebraica creada a partir de un conjunto no vacío, una operación interna (llamada suma, definida para los elementos del conjunto) y una operación externa (llamada producto por un escalar, definida entre dicho conjunto y un cuerpo matemático), con 8 propiedades fundamentales.
A los elementos de un espacio vectorial se les llama vectores y a los elementosdel cuerpo, escalares.
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Definición de espacio vectorial
Un espacio vectorial sobre un cuerpo  (como el cuerpo de los números reales o los números complejos) es un conjunto  no vacío, dotado de dos operaciones para las cuales será cerrado:

operación interna tal que:
1) tenga la propiedad conmutativa, es decir
 
2) tenga la propiedadasociativa, es decir
 
3) tenga elemento neutro , es decir
  
4) tenga elemento opuesto, es decir
 
y la operación producto por un escalar:

operación externa tal que:
5) tenga la propiedad asociativa:
  
6) tenga elemento neutro 1:
 
7) tenga la propiedad distributiva del producto respecto la suma de vectores:
  
8) tenga la propiedad distributiva del producto respecto la suma de escalares:  

Observaciones
La denominación de las dos operaciones no condiciona la definición de espacio vectorial por lo que es habitual encontrar traducciones de obras en las que se utiliza multiplicación para el producto y sustracciónpara la suma, usando las distinciones propias de la aritmética.
Para demostrar que un conjunto  es un espacio vectorial:
* Si supiésemos que  es un grupoconmutativo o abeliano respecto la suma ya tendríamos probados los apartados 1, 2, 3 y 4.
* Si supiésemos que el producto es una acción por la izquierda de  tendríamos probados los apartados 5 y 6.
* Si no se dice lo contrario:
.

Propiedades
Unicidad del vector neutro de la propiedad 3:
supongamos que el neutro no es único, es decir, sean  y  dos vectores neutros, entonces:
   
Unicidad delvector opuesto de la propiedad 4:
supongamos que el opuesto no es único, es decir, sean  y  dos vectores opuestos de , entonces, como el neutro es único:
   
Unicidad del elemento  en el cuerpo :
supongamos que 1 no es único, es decir, sean  y  dos unidades, entonces:
   
Unicidad del elemento inverso en el cuerpo :
supongamos que el inverso  de a, no es único, es decir, sean  y  dosopuestos de , entonces, como el neutro es único:
   
Producto de un escalar por el vector neutro:
   
Producto del escalar 0 por un vector:
      
Si  
* Si  es cierto.
* Si  entonces:
       
Notación
.
Observación

* Si  
* Si  

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Ejemplos de espacios vectoriales
[editar]Los cuerpos
Todo cuerpo es un espacio vectorialsobre él mismo, usando como producto por escalar el producto del cuerpo.
*  es un espacio vectorial de dimensión uno sobre .
Todo cuerpo es un espacio vectorial sobre su subcuerpo, usando como producto por escalar el producto del cuerpo.
*  es un espacio vectorial de dimensión 2 sobre .
*  es un espacio vectorial de dimensión infinita sobre .
[editar]Sucesiones sobre un cuerpo El espacio vectorial más conocido notado como , donde n>0 es un entero, tiene como elementos n-tuplas, es decir, sucesiones finitas de  de longitud n con las operaciones:
(u1, u2, ..., un)+(v1, v2, ..., vn)=(u1+v1, u2+v2, ..., un+vn).
a(u1, u2, ..., un)=(au1, au2, ..., aun).
Las sucesiones infinitas de  son espacios vectoriales con las operaciones:
(u1, u2, ..., un, ...)+(v1, v2, ..., vn,...)=(u1+v1, u2+v2, ..., un+vn, ...).
a(u1, u2, ..., un, ...)=(au1, au2, ..., aun, ...).
El espacio de las matrices , , sobre , con las operaciones:

También son espacios vectoriales cualquier agrupación de elementos de  en las cuales se defina las operaciones suma y producto entre estas agrupaciones, elemento a elemento, similar al de matrices , así por ejemplo tenemos las cajas  sobre  que...