Espacio Vectorial

 Espacio Vectorial
Los primeros axiomas se utilizan para definir a un grupo abeliano, y los axiomas vi) al X) describen la interacción de los escalares y los vectores mediante la operación binariade un escalar y un vector.
Espacio vectorial Trivial
Sea V= {0}. Es decir, V consiste solo en el numero 0. Como 0+0 = 1*0 = 0(0+0) = (0+0)+0 = 0, se ve que V es un espacio vectorial. Con frecuenciase le otorga el nombre de espacio vectorial trivial.

Conjunto que no es un espacio vectorial
Sea V= {1}. Es decir, V consiste únicamente del numero 1. Este no es un espacio vectorial ya que violael i) – el axioma de cerradura. Para verlo con más claridad, basta con observar que 1+1= 2 también viola otros axiomas; sin embargo con solo demostrar que viola al menos uno de los diez axiomas quedaprobado que V no es un espacio vectorial.


Ejemplo de R2
Sea V= {(x, y): y= mx, donde m es un número fijo y x es un numero real arbitrario}.
Es decir V consiste en todos los puntos que estánsobre la recta y= mx que pasa por el origen y tiene pendiente m. Para demostrar que V es un espacio vectorial, se puede verificar que se cumple cada uno de los axiomas. Observe que los vectores en R2 sehan escrito como renglones en lugar de columnas, lo que en esencia es lo mismo.
i. Suponga que x= (x1,y1) y “y”= (x2,y2) están en V. entonces y1= mx1,y2= mx2, y “x + y= (x1,y1) + (x2,y2)= (x1, mx1) +(x2, mx2)= (x1 +x2, mx1 + mx2)= (x1+x2, m(x1+x2))€ V”
ii. Suponga que (x, y) € V. entonces y= mx y – (x, y) = -(x, mx) = (-x, m (-x)), de manera que –(x, y) también pertenece a V y (x, mx) +(-x, m (-x))= (x-x, m(x-x))= (0,0).
Ejemplo cuando no se cumple
Sea V= {(x, y): y= 2x+1, x € R}. Es decir, V es el conjunto de puntos que están sobre la recta y= 2x+1. V no es un espacio vectorialporque no se cumple la cerradura bajo la suma. Para ver esto, suponga que (x1, y1) y (x2, y2) están en V. Entonces,
(x1, y1)+(x2, y2)= (x1+x2, y1+y2)
Y1+y2= 2(x1+x2)+1=2x1+2x2+2
(x1+x2, y1+y2) V si...