espacio vectorial

Espacio vectorial
En álgebra abstracta, un espacio vectorial es una estructura algebraica creada a partir de un conjunto no vacío, una operación interna (llamada suma, definida para los elementosdel conjunto) y una operación externa (llamada producto por un escalar, definida entre dicho conjunto y otro conjunto, con estructura de cuerpo ), con 8 propiedades fundamentales.
A los elementos de unespacio vectorial se les llama vectores y a los elementos del cuerpo, escalares.
Definición de espacio vectorial
Un espacio vectorial sobre un cuerpo (como el cuerpo de los números reales o losnúmeros complejos) es un conjunto no vacío, dotado de dos operaciones para las cuales será cerrado:

operación interna tal que:
1) tenga la propiedad conmutativa, es decir

2) tenga la propiedadasociativa, es decir

3) tenga elemento neutro , es decir

4) tenga elemento opuesto, es decir

y la operación producto por un escalar:

operación externa tal que:
5) tenga lapropiedad asociativa:

6) sea elemento neutro del producto:

7) tenga la propiedad distributiva del producto respecto la suma de vectores:

8) tenga la propiedad distributiva del productorespecto la suma de escalares:


Combinación lineal
Un vector se dice que es combinación lineal de un conjunto de vectores si existe una forma de expresarlo como suma de parte o todos losvectores de multiplicados cada uno de ellos por un coeficiente escalar , de forma que:
.
Así, es combinación lineal de vectores de si podemos expresar como una suma de múltiplos de una cantidad finitade elementos de .
Ejemplo: 2x + 3y − 2z = 0. Se dice que z es combinación lineal de x y de y, porque podemos escribir sin más que despejar la z. De la misma manera, despejando oportunamente, cada unade estas variables se podría expresar como combinación lineal de las otras dos.
En otras palabras, cuánto de cada vector del conjunto necesito para que, cuando se combinen linealmente dichos...