Espacio Vectorial

Espacio Vectorial
Definición
Sea V un conjunto no vacío sobre el cual existen dos operaciones. Una llamada suma de vectores y otra llamada multiplicación de un escalar por un vector. La suma devectores, o simplemente suma, es una regla o función que asocia a dos vectores, digamos u y v un tercer vector, a este se le representar a como u ⊕ v. La multiplicación es una regla que asocia a unescalar y a un vector, digamos c y u un segundo vector representado por c ⊙ u. Diremos que el conjunto V se llama espacio vectorial si cumple todos y cada uno de los siguientes
Axiomas:
(A1) Paracualquiera dos vectores u y v en V

u ⊕ v ∈ V

Este axioma se conoce como el axioma de cerradura bajo la suma:
La suma de dos elementos del conjunto debe dar como resultado también un elemento delconjunto.

(A2) Para cualquiera dos vectores u y v en V

u ⊕ v = v ⊕ u

Este axioma se conoce como el axioma de la conmutatividad de la suma:
El orden de los sumandos no altera el resultado de lasuma.
(A3) Para cualesquiera tres vectores u, v y w en V

u ⊕ (v ⊕ w) = (u ⊕ v) ⊕ w

Este axioma se conoce como axioma de la asociatividad de la suma:
En una suma de vectores, no importa el ordencomo asocien la sumas entre dos; el resultado será siempre el mismo.

(A4) Existe un único vector en V que se simbolizara por 0 y que se llamara el vector cero tal que para cualquier vector u ∈ Vse cumple

u ⊕ 0 = 0 ⊕ u = u

Este axioma se conoce como el axioma de la existencia del elemento neutro:
Existe en el conjunto un elemento distinguido que sumado con cualquier elemento da el mismosegundo elemento.

(A5) Para cualquier vector u ∈ V existe un único vector también en V y simbolizado por −u que cumple

u ⊕ (−u) = (−u) ⊕ u = 0

Este axioma se conoce como axioma de laexistencia de inversos aditivos:
Cada elemento del conjunto posee un inverso aditivo; un elemento del conjunto que sumado con el da el neutro aditivo.

(M1) Para cualquier vector u ∈ V y para cualquier...