Espacio Vectorial

Tema 1:
ESPACIOS VECTORIALES
Prof. Rafael L´opez Camino
Departamento de Geometr´ıa y Topolog´ıa
Universidad de Granada

Material docente para el alumno
Asignatura: Geometr´ıa I. Curso 2003/04
Licenciatura: Matem´aticas (Plan 2000)
Universidad de Granada

Universidad de Granada. Licenciatura de Matem´
aticas.
Asignatura: Geometr´ıa I. Prof: Rafael L´
opez Camino

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Espacio vectorial

Definici´on 1.1 Un espacio vectorial es una terna (V, +, ·), donde V es un conjunto
no vac´ıo y +, · son dos operaciones del tipo + : V × V → R, · : R × V → V a las
que llamaremos ’suma de vectores’ y ’producto por escalares respectivamente y con
las siguientes propiedades: denotando +(u, v) = u + v y ·(λ, v) = λv,
1. u + (v + w) = (u + v) + w, ∀u, v, w ∈ V (asociativa).
2. u + v = v + u, ∀u, v ∈ V(conmutativa).
3. Existe e ∈ V tal que e + v = v + e = v, ∀v ∈ V (elemento neutro).
4. Para cada v ∈ V existe w tal que v + w = w + v = e (elemento opuesto).
5. λ(µv) = (λµ)v, ∀v ∈ V , ∀λ, µ ∈ R (seudo-asociativa).
6. λ(u + v) = λu + λv y (λ + µ)v = λv + µv, ∀u, v ∈ V y ∀λ, µ ∈ R (distributiva).
7. 1v = v,∀v ∈ V (unimodular).
De forma abreviada, diremos que V es un espacio vectorial. A los elementos deV
lo llamamos vectores y a los de R, escalares.
Proposici´
on 1.1 En un espacio vectorial V ,
1. El elemento neutro es u
´nico. Se denotar´
a por 0.
2. El elemento opuesto de un vector es u
´nico. Si v es un vector, su opuesto lo
denotamos por −v.
Proposici´
on 1.2 En un espacio vectorial se tiene las siguientes propiedades:
1. λ0 = 0, λ ∈ R.
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Se prohibe cualquier reproducci´
on sin permisodel autor

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2. 0v = 0, v ∈ V .
3. (−λ)v = −(λv), λ ∈ R, v ∈ V .
4. Si λv = 0, entonces λ = 0 o v = 0.
A continuaci´on, damos algunos ejemplos de espacios vectoriales:
1. Si n es un n´
umero natural, se considera el espacio eucl´ıdeo Rn = {(x1 , . . . , xn ); xi ∈
R} con la suma y productopor escalares siguientes:
(x1 . . . , xn ) + (y1, . . . , yn )0(x1 + y1 , . . . , xn + yn ).
λ(x1 , . . . , xn ) = (λx1 , . . . , λxn ).
Siempre se supondr´a que Rn tiene esta estructura vectorial y que llamaremos
usual.
2. Sea V = {(x, y) ∈ R2 ; x − y = 0} con la suma y producto por escalares como
antes.
3. Sea V = {p} un conjunto con un u
´ nico elemento y con p + p = p y λp = p.
4. Sea V = {f :R → R; f es aplicaci´on} y
(f + g)(x) = f (x) + g(x),

(λf )(x) = λf (x),

x ∈ R.

5. W = {f : R → R; f es una funci´on diferenciable} y la suma y el producto por
escales est´a definido de forma an´aloga a la del ejemplo anterior.
6. Se considera el conjunto de los polinomios de grado n ∈ N: un polinomio
de grado n ∈ N es una expresi´on del tipo p(X) = a0 + a1 X + . . . + an X n ;
abreviaremosp(X) = ni=1 ai X i , donde por convenio X 0 = 1 y en vez de
escribir a0 1 = a0 . Dos polinomios p(X) = ni=1 ai X i y q(X) = ni=1 bi X i se
dir´an iguales si ai = bi para cada i. El conjunto de polinomios de grado n
Se prohibe cualquier reproducci´
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lo denotamospor Pn [X].Definimos la siguiente suma de polinomios y de un
escalar por un polinomio:
n
i=1

ai X i +
n

λ
i=1

n
i=1

bi X i =

ai X i =

n
i=1

n
i=1

(ai + bi )X i

(λai )X i

Entonces Pn [X] es un espacio vectorial.
7. Sea X = {a1 , . . . , an } un conjunto con n elementos. Se define una palabra
formada por el conjunto X como una expresi´on del tipo x1 a1 + . . . + xn an ,
donde xi ∈ R. Dospalabras x1 a1 + . . . + xn an y y1 a1 + . . . + yn an son iguales
si xi = yi . Se define V el conjunto de todas las palabras y se define
(x1 a1 + . . . + xn an ) + (y1 a1 + . . . + yn an ) = (x1 + y1 )a1 + . . . + (xn + yn )an .
λ(x1 a1 + . . . + xn an ) = (λx1 )a1 + . . . + (λxn )an .
Entonces V es un espacio vectorial. Como ejemplo, el conjunto de palabras
definidas por {1, X, . . . , X n }...