Espacio Vectorial

Espacio Vectorial Abstracto
1. Introducción
Dado un conjunto E se denomina Ley de composición interna a
la aplicación f : E  E  E de modo que a, b  E ; f (a, b)  c  E
que se suele expresar a  b  c , también se denomina operación.
Son ejemplos la suma (+) y el producto (·) en R.
Elementos notables respecto a una ley de composición interna.
NEUTRO. Sea ( E; ) un conjunto con una ley decomposición
interna, el elemento e  E es neutro si a  E a  e  a  e  a .
Son ejemplos el 0 para la suma y el 1 para el producto.
SIMÉTRICO. Sea ( E; ) un conjunto con una ley de composición
interna y elemento neutro e  E , el elemento a '  E es elemento
simétrico de a  E si a  a '  e  a ' a .
Son ejemplos el (-2) del 2 para la suma y el ½ para el producto.
Dados dos conjuntos K y E sedenomina Ley de composición
externa a f : K  E  E   K , x  E ; f ( , x)    x  E .
Estructuras algebraicas
Magma: ( E; ) . Conjunto con una ley de composición interna.
Semigrupo: a, b, c  E a  (b  c)  (a  b)  c La ley es asociativa.
Grupo es un Semigrupo con elemento neutro y simétrico.
Grupo abeliano si la ley es conmutativa a, b  E a  b  b  a .
Anillo: ( E; , ) unconjunto con dos leyes de composición interna
que respecto a la primera ley es grupo abeliano y la seguna ley
es asociativa a, b, c  E a  (b  c)  (a  b)  c y distributiva respecto
a la primera a, b, c  E a  (b  c)  (a  b)  (a  c) .
Anillo unitario: Si para la segunda ley tiene elemento neutro 1.
Cuerpo: Es un anillo unitario en el que todo elemento, salvo el 0
1
1
1
tiene inverso. a  0 tal que a   1   a . Si para la segunda
a
a
a
ley se da la propiedad conmutativa el Cuerpo es conmutativo.
1

2. Espacio Vectorial (lineal)

Sea ( K ; , ) un cuerpo conmutativo cuyos elementos se
denominan escalares y ( E; ) un conjunto dotado de la SUMA,
cuyos elementos se denominan vectores. Se dice que E es un
espacio vectorial sobre K o también un K  espacio vectorial si
cumple doscondiciones:
a. El conjunto E es un grupo aditivo abeliano.
b. Se define una ley de composición externa con dominio de
operadores en K :   K y x  E   x  E que verifica
los 8 axiomas: x, y, z  E ,  ,   K
1) Asociativa: x  ( y  z )  ( x  y)  z
2) Neutro: x  0  x  0  x .
3) Simétrico: x  ( x)  0  ( x)  x .
4) Conmutativa: x  y  y  x .
5) La ley externa es distributivarespecto a la suma de
vectores:   ( x  y)    x    y .
6) La ley externa es distributiva respecto a la suma de
escalares: (   )  x    x    x .
7) La ley externa es asociativa: ( )  x    (  x) .
8) El 1 actúa como neutro para la ley externa: 1  x  x .
Un cuerpo conmutativo se considera espacio vectorial sobre si
mismo.
Son espacios vectoriales.
 El conjunto de losvectores libres con la suma de
vectores y producto por escalar.
 El conjunto de los polinomios de grado  n con la suma
de polinomios y producto por escalar
 El conjunto de las matrices m  n con la suma de
matrices y producto por escalar.
No son espacios vectoriales.
 El conjunto de los puntos de una recta del plano que no
pase por el origen. Porque no incluye el (0,0)
 El conjunto de polinomios degrado  n . Porque la suma
puede no ser polinomio de grado  n .
 El conjunto de las matrices cuadradas de orden 2 que
no son invertibles. Porque la suma puede ser una matriz
invertible.

2

3. Propiedades elementales
3.1 Se verifica u  E 0  K : 0  u  0
  u    u  0
Sean   K y u  E : 
  u  (  0)  u    u  0  u
Como los primeros miembros son iguales los segundos tambiénlo serán
por tanto   u  0    u  0  u  0  u  0

3.2 Se verifica   K

0E :   0  0

  u    u  0
Sean   K y u  E : 
  u    (u  0)    u    0
Como los primeros miembros son iguales los segundos también lo serán
por tanto   u  0    u    0    0  0

3.3 Se verifica   u  0    0 o u  0
Si   0 Demostrado

Sean   K y u  E : 
1
1
Si   0 ,...