Espacio vectoriales

UNIVERSIDAD NACIONAL DE LA MATANZA DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA E INVESTIGACIONES TECNOLÓGICAS ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA I – (Cod. 1027 y 347) – MATEMÁTICA DISCRETA I (Cod. 603) 1) Espacios vectoriales En las prácticas anteriores hemos trabajado con elementos de un conjunto en el definíamos una operación entre ellos (por lo general llamada suma) y el resultado nos daba otro elemento del mismoconjunto. También definíamos otra operación que involucraba a un elemento de dicho conjunto con un escalar (perteneciente a un cuerpo) y el resultado de dicha operación (por lo general llamada producto) era un elemento del mismo conjunto. Esto pasaba con los polinomios y su definición de suma y producto por un escalar , matrices con iguales operaciones , vectores en el plano o el espacio ,etc.Muchas veces en matemáticas o en otras ciencias nos encontramos con la siguiente situación: tenemos objetos de cierta clase (conjunto) que por algún mecanismo podemos sumar y el resultado es un objeto de la misma clase. Además, dado un objeto de la clase en cuestión y un escalar (por el momento un escalar es un número real) podemos operar entre ambos y obtenemos un objeto de la clase mencionada. Silas propiedades algebraicas de estas operaciones son las mismas que las propiedades algebraicas de las operaciones análogas entre vectores geométricos, a estos objetos los llamaremos vectores (generalizamos el concepto) , y al conjunto de estos objetos, con las operaciones suma y producto y el cuerpo de escalares lo llamamos espacio vectorial. Los espacios vectoriales son una abstracción de lo queconocemos como vectores geométricos planos o espaciales. Entonces contaremos con una “cuarteta” de elementos a saber, un conjunto V , un cuerpo K y dos operaciones llamadas respectivamente + y . {V , +, K ,.} Formalmente, diremos que un conjunto V es un K-espacio vectorial si tenemos definida en V una ley de composición interna (suma) y una ley de composición externa (producto de un escalar k ( k ∈K ) por un vector) que verifican las propiedades indicadas en los apartados siguientes I y II. Si trabajamos con la máxima generalidad, en el conjunto de escalares K tenemos que tener definida una estructura de cuerpo. En la mayoría de las aplicaciones de nuestro curso K es el conjunto de los números reales o complejos (por cierto que son cuerpos). Como los aspectos fundamentales de la teoría nocambian con el cuerpo de escalares utilizado supondremos en estas notas que K = R.
I. La operación suma verifica: I-1 Ley de composición interna:

∀u , v ∈V ⇒ u + v ∈V ∀u , v, w ∈ V ⇒ u + (v + w) = (u + v) + w ∀u , v ∈V ⇒ u + v = v + u

I-2 Asociatividad: I-3 Conmutatividad:

I-4 ∃ Elemento Neutro: ∃0 ∈ V / ∀u ∈ V ⇒ 0 + u = u + 0 = u I-5 ∃ Elemento inverso: u ∈V ⇒ ∃u´ ∈ V / u + u´ = u´ + u= 0 0 es el vector nulo y el elemento inverso u´ se puede notar con −u . II. El producto de un escalar por un vector satisface las siguientes propiedades: II-1 Ley de composición externa: ∀u ∈ V , ∀k ∈ K ⇒ k .u ∈V

Álgebra y Geometría Analítica I – Espacios Vectoriales – 2009

1

II-2 distributividad respecto a ∀k ∈ K ; ∀u, v ∈ V ⇒ k .(u + v) = k .u + k .v II-3 distributividad respecto a ∀k, k´∈ K , ∀u ∈ V ⇒ (k + k´).u = k .u + k´.u II-4 asociatividad del producto ∀k , k´∈ K ; ∀u ∈ V ⇒ (k .k´).u = k .(k´.u ) = k .k´.u

la la de

suma suma

de de los

vectores escalares escalares

II-5 elemento neutro en el cuerpo ∀u ∈ V ; ∃1 ∈ k / 1.u = u Ejemplo 1: Las operaciones básicas (suma y producto de un escalar por un vector) definidas en el conjunto de los vectores geométricosverifican las propiedades indicadas en I y II. Por lo tanto, el conjunto de los vectores geométricos junto con la operaciones de suma y producto de un escalar por un vector, es un ejemplo de espacio vectorial. Ejemplo 2 Cuando estudiamos las matrices definimos operaciones de suma de matrices y de producto de un escalar por una matriz que también verifican las propiedades I y II. Entonces, el...