Espacio Vertebral

República Bolivariana De Venezuela
Ministerio del Poder Popular Para La Educación
Aldea: Ángel Celestino Bello
Misión Sucre

Espacio Vectorial
Aplicación De La Geometría
Y matriz

Primer Trimestre Nombre: Yomercy Perales
En Ingeniería en Sistema Profesor: José DuranEspacio vectorial
Un espacio vectorial (o espacio lineal) es el objeto básico de estudio en la rama de la matemática llamada álgebra lineal. A los elementos de los espacios vectoriales se les llama vectores. Sobre los vectores pueden realizarse dos operaciones: escalarse (multiplicarlos por un escalar) y sumarse. Estas dos operaciones se tienen que ceñir a un conjunto de axiomas que generalizanlas propiedades comunes de las tuplas de números reales así como de los vectores en el espacio euclídeo. Un concepto importante es el de dimensión.
Los espacios vectoriales tienen aplicaciones en otras ramas de la matemática, la ciencia y la ingeniería. Se utilizan en métodos como las series de Fourier, que se utiliza en las rutinas modernas de compresión de imágenes y sonido, o proporcionan elmarco para resolver ecuaciones en derivadas parciales. Además, los espacios vectoriales proporcionan una forma abstracta libre de coordenadas de tratar con objetos geométricos y físicos, tales como tensores, que a su vez permiten estudiar las propiedades locales de variedades mediante técnicas de linealización.
Motivación y definición
El plano R2, consistente en los pares (x, y) de númerosreales, es el típico ejemplo de espacio vectorial: cualquiera dos pares de números reales pueden sumarse,
(x1, y1) + (x2, y2) = (x1 + x2, y1 + y2),
y cualquier par (x, y) puede escalarse, multiplicarse por un número real s, para obtener otro vector (sx, sy).
Existe además un vector, el (0,0), llamado vector nulo que cumple que al sumarse con cualquier otro vector no lo altera. Todo vector, porejemplo el (1, 0), tiene su opuesto, el (-1, 0), que sumados dan como resultante el vector nulo (0, 0).
La noción de espacio vectorial es una generalización de esta idea. Es más general de varias maneras: en primer lugar, en lugar de los números reales otros cuerpos, como los números complejos o los cuerpos finitos, se permiten. En segundo lugar, la dimensión del espacio, que es de dos en el ejemploanterior, puede ser arbitraria, incluso infinita. Otro punto de vista conceptual importante es que los elementos de los espacios vectoriales no suelen estar expresados como combinaciones lineales de un conjunto de vectores, es decir, no hay preferencia de representar el vector (x, y) como
(x, y) = x · (1, 0) + y · (0, 1)
o como
(x, y) = (−1/3·x + 2/3·y) · (−1, 1) + (1/3·x + 1/3·y) · (2, 1)Propiedades del espacio vectorial.
Hay una serie de propiedades que se demuestran fácilmente a partir de los axiomas del espacio vectorial. Algunas de ellas se derivan de la teoría elemental de grupos, aplicada al grupo (aditivo) de vectores: por ejemplo, el vector nulo 0 Є V, y el opuesto -v de un vector v son únicos. Otras propiedades se pueden derivar de la propiedad distributiva, por ejemplo,la multiplicación por el escalar cero da el vector nulo y ningún otro escalar multiplicado por un vector da cero
Vectores y valores propios
Un caso especialmente importante de aplicación lineal son los endomorfismos, es decir, aplicaciones f: V → V. En este caso, los vectores v pueden compararse con sus imágenes por f, f (v). Cualquier vector v satisfaciendo f (v) = λ · v, donde λ es un escalar,se dice que es un vector propio de f con valor propio λ.[nb 2] Equivalentemente, v es un elemento del núcleo de la diferencia f − λ · Id (la aplicación identidad V → V). En el caso finito-dimensional, esto puede ser reformulado utilizando determinantes como: f tiene el valor propio λ sí
Det (f − λ · Id) = 0.

Al desarrollar el determinante, la expresión del lado izquierdo resulta ser una...