Espacio y Subespacio Vectorial

2011
Espacio vectorial y subespacio vectorial

Mayra Lizbeth Mosqueda Rojas 04/06/2011

Instituto Tecnológico Superior de Champoton Algebra Lineal Tema: Espacio vectorial Profesor: José Gabriel Tamayo Br: Mayra Lizbeth Mosqueda Rojas Grupo: “A” Fecha: 04 de Junio del 2011

Introducción Los espacios vectoriales se derivan de la geometría afín, a través de la introducción de coordenadas enel plano o el espacio tridimensional. Alrededor de 1636, los matemáticos franceses Descartes y Fermat fundaron las bases de la geometría analítica mediante la vinculación de las soluciones de una ecuación con dos variables a la determinación de una curva plana. Para lograr una solución geométrica sin usar coordenadas, Bernhard Bolzano introdujo en 1804 ciertas operaciones sobre puntos, líneas yplanos, que son predecesores de los vectores. Este trabajo hizo uso del concepto de coordenadas baricéntricas de August Ferdinand Möbius de 1827.El origen de la definición de los vectores es la definición de Giusto Bellavitis de bipoint, que es un segmento orientado, uno de cuyos extremos es el origen y el otro un objetivo. Los vectores se reconsideraron con la presentación de los números complejosde Argand y Hamilton y la creación de los cuaterniones por este último (Hamilton fue además el que inventó el nombre de vector). Son elementos de R2 y R4; el tratamiento mediante combinaciones lineales se remonta a Laguerre en 1867, quien también definió los sistemas de ecuaciones lineales.

Espacio vectorial Un espacio vectorial es una estructura matemática creada a partir de un conjunto novacío con una operación suma interna al conjunto y una operación producto externa entre dicho conjunto y un cuerpo, cumpliendo una serie de propiedades o requisitos iniciales. A los elementos de un espacio vectorial se les llamará vectores y a los elementos del cuerpo se les llamará escalares.

Históricamente, las primeras ideas que condujeron a los espacios vectoriales modernos se remontan alsiglo XVII: geometría analítica, matrices y sistemas de ecuaciones lineales. La primera formulación moderna y axiomática se debe a Giuseppe Peano, a finales del siglo XIX. Los siguientes avances en la teoría de espacios vectoriales provienen del análisis funcional, principalmente de los espacios de funciones. Los problemas de Análisis funcional requerían resolver problemas sobre la convergencia.Esto se hizo dotando a los espacios vectoriales de una adecuada topología, permitiendo tener en cuenta cuestiones de proximidad y continuidad. Estos espacios vectoriales topológicos, en particular los espacios de Banach y los espacios de Hilbert tienen una teoría más rica y elaborada. Los espacios vectoriales tienen aplicaciones en otras ramas de la matemática, la ciencia y la ingeniería. Se utilizanen métodos como las series de Fourier, que se utiliza en las rutinas modernas de compresión de imágenes y sonido, o proporcionan el marco para resolver ecuaciones en derivadas parciales. Además, los espacios vectoriales proporcionan una forma abstracta libre de coordenadas de tratar con objetos geométricos y físicos, tales como tensores, que a su vez

permiten estudiar las propiedades localesde variedades mediante técnicas de linealización. Definición de espacio vectorial Un espacio vectorial sobre un cuerpo los números complejos) es un conjunto (como el cuerpo de los números reales o no vacío, dotado de dos operaciones:

Los elementos: Los elementos: Con la operación interna tal que:

se llaman vectores. se llaman escalares.

1) tenga la propiedad conmutativa, es decir

2)tenga la propiedad asociativa, es decir

3) tenga elemento neutro 0, es decir

4) tenga elemento opuesto, es decir

y la operación producto por un escalar:

operación externa tal que: 5) tenga la propiedad:

6) tenga elemento neutro 1:

Que tenga la propiedad distributiva: 7) distributiva por la izquierda:

8) distributiva por la derecha:

Véase también: Espacio euclídeo Véase...