Espacio

I

F

Integración

10
10.1 Funciones integrables 149 10.2 Teorema fundamental del Cálculo 155 10.3 Ejercicios 158

El área de un recinto, la longitud de un cable que cuelga entre dos postes, el volumen o la
superficie de una esfera...Estos son el tipo de problemas que vamos a resolver en este capítulo.
Para ello presentamos el concepto de integral de una función.

10.1 Funcionesintegrables
Definición 10.1. Una partición P de un intervalo [a, b] es un conjunto finito del tipo P =
{ x0 , x1 , . . . , xn } donde
a = x0 < x1 < . . . < xn−1 < xn = b.
1
1
Ejemplo 10.2. Los conjuntos {0, 1}, 0, 2 , 1 o 0, 1 , 2 , 1 son particiones del intervalo [0, 1]. No
3
1
lo son, en cambio, conjuntos como 0, 1 , 1 , 1 , 0, 1 , 2 .
23
3

Definición 10.3. Sea f : [a, b] → R una funciónacotada y P una partición del intervalo. La
suma superior S ( f , P) de la función f relativa a la partición P es
S ( f , P) = sup f ([ x0 , x1 ])( x1 − x0 ) + sup f ([ x1 , x2 ])( x2 − x1 ) + . . .
+ sup f ([ xn−1 , xn ])( xn − xn−1 ).
Análogamente se define la suma inferior I ( f , P) como
I ( f , P) = inf f ([ x0 , x1 ]) ( x1 − x0 ) + sup f ([ x1 , x2 ])( x2 − x1 ) + . . .
+ sup f ([ xn−1 ,xn ])( xn − xn−1 ).
Las sumas inferiores y superiores que vemos en la siguiente figura son una aproximación del
área que queremos calcular. Ahora bien, el valor de la suma inferior siempre será menor que el de
la integral y a la suma superior le ocurre lo contrario.
Definición 10.4. La integral superior de f se define como

[a,b]

f = inf S ( f , P) : P partición de [a, b] .

La integralinferior de f se define como
f = sup I ( f , P) : P partición de [a, b] .
[a,b]

–

–

F

I

f

x0

x1

x2

x3

...

f

xn

x0

x1

x2

Suma superior

x3

...

xn

Suma inferior

Figura 10.1 Sumas superiores e inferiores

Las integrales superior e inferior son aproximaciones a la integral de la función. En un caso
por exceso y en otro por defecto.Cuando ambas aproximaciones coinciden, tenemos una función
integrable.
Definición 10.5. Sea f : [a, b] → R una función acotada. Diremos que f es integrable si
coinciden la integral superior e inferior. En ese caso, denotaremos [a,b] f a dicha integral.
b
a

También usaremos con frecuencia las notaciones
en la variable de integración.

fo

b
a

f ( x) dx si queremos hacer hincapiéEjemplo 10.6. Calcular la integral de f ( x) = x en el intervalo [0, 1] Consideremos la partición
Pn del intervalo [0, 1] que consiste en dividirlo en n trozos iguales:
n−1
12
,1 .
Pn = 0, , , . . . ,
nn
n
Como la función f es creciente, su valor máximo se alcanzará en el extremo de la derecha y el
mínimo en el extremos de la izquierda. Con esto es fácil calcular el valor de las sumassuperiores
e inferiores.
n

S ( f , Pn ) =
i= 1
n

I ( f , Pn ) =
i= 1

i1
1
f
=2
nn n

n

i=
i= 1

1
i−1 1
f
=2
nnn

n(n + 1)
,y
2n2

n

i−1=
i= 1

(n − 1)n
.
2n2

Si hacemos tender n a infinito, limn→∞ S ( f , Pn ) = limn→∞ S ( f , Pn ) = 1 . Por tanto
2

1
0

x dx = 1 .
2

No es fácil calcular la integral de una función con la definición. En el ejemploanterior hemos
tenido que usar la suma de una progresión aritmética y usar particiones de una forma particular.
En el resto del tema veremos qué funciones son integrables, qué propiedades tienen y, por último,
el teorema fundamental del cálculo y la regla de Barrow nos permitirán calcular integrales de una
forma más cómoda.

–

–

I

F

10.1.1 Propiedades
Comenzamos recogiendoinformación sobre la integrabilidad de funciones relacionada con las
operaciones usuales.

Linealidad de la integral
Con respecto a la suma, el conjunto de las funciones integrables es un espacio vectorial y la
integral es una aplicación lineal.
Proposición 10.7. Sean f , g : [a, b] → R integrables. Entonces
a) La suma f + g es integrable y ( f + g) =
b) Si λ ∈ R, entonces (λ f ) = λ

f+...